Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線經(jīng)過點B，連結(jié)OB．將OB繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°并延長至A，使OA=2OB，且點A的坐標(biāo)為（4，2）．
（1）求過點B的雙曲線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)的圖象，指出當(dāng)x＜-1時，y的取值范圍；
（3）連接AB，在該雙曲線上是否存在一點P，使得S_△ABP=S_△ABO？若存在，求出點P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）作AM⊥x軸于點M，BN⊥x軸于點N，由相似三角形的判定定理得出△AOM∽△OBN，OA=2OB，再根據(jù)OA=2OB，點A的坐標(biāo)為（4，2）可得出B點坐標(biāo)，進而得出反比例函數(shù)的關(guān)系式；
（2）由函數(shù)圖象可直接得出結(jié)論；
（3）根據(jù)AB兩點的坐標(biāo)可知AB∥x軸，S_△ABP=S_△ABO=5，再分當(dāng)點P在AB的下方與當(dāng)點P在x軸上方兩種情況即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）作AM⊥x軸于點M，BN⊥x軸于點N，
∵OB⊥OA，∠AMO=∠BNO=90°，
∴∠AOM=∠NBO，
∴△AOM∽△OBN．
∵OA=2OB，
∴

BN

OM

=

ON

AM

=

1

2

，
∵點A的坐標(biāo)為（4，2），
∴BN=2，ON=1，
∴B（-1，2）．
∴雙曲線的函數(shù)關(guān)系式為y=-

2

x

；

（2）由函數(shù)圖象可知，當(dāng)x＜-1時，0＜y＜2；

（3）存在．
∵y_A=y_B，
∴AB∥x軸，
∴S_△ABP=S_△ABO=5，
∴當(dāng)點P在AB的下方時，點P恰好在x軸上，不合題意舍去；
當(dāng)點P在x軸上方時，點P在第二象限，得

1

2

AB•（y_P-2）=5，即

1

2

×5×（y_P-2）=5，解得y_P=4，
∴點P坐標(biāo)為（-

1

2

，4）．

點評：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式、三角形的面積及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，難度適中．