Question

如圖，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，按折線DCBAD方向以3cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)，按折線DABCD方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M回到點(diǎn)D時(shí)，M、N兩點(diǎn)均停止運(yùn)動(dòng)．
（1）若動(dòng)點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)幾秒鐘兩點(diǎn)相遇？
（2）若點(diǎn)E在線段BC上，BE=1cm，動(dòng)點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)且相遇時(shí)均停止運(yùn)動(dòng)，那么點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到第幾秒鐘時(shí)，與點(diǎn)A、E、M、N恰好能組成等腰梯形？
（3）若點(diǎn)E在線段BC上，BE=1cm，動(dòng)點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)且相遇時(shí)均停止運(yùn)動(dòng)，那么點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到第幾秒鐘時(shí)，與點(diǎn)A、E、M、N恰好能組成平行四邊形？

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì),平行四邊形的判定,等腰梯形的判定

專題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）相遇時(shí)，M和N所經(jīng)過(guò)的路程正好是矩形的周長(zhǎng)，在速度已知的情況下，只需列方程即可解答．
（2）因?yàn)榘凑誑的速度和所走的路程，在相遇時(shí)包括相遇前，N一直在AD上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到BC邊上的時(shí)候，點(diǎn)A、E、M、N才可能組成平行四邊形，其中有兩種情況，即當(dāng)M到C點(diǎn)時(shí)以及在BC上時(shí)，所以要分情況討論．

解答：解：（1）設(shè)t秒時(shí)兩點(diǎn)相遇，則有t+3t=24，
解得t=6．
答：經(jīng)過(guò)6秒兩點(diǎn)相遇．

（2）如圖1，當(dāng)M在E的右側(cè)時(shí)，AN-EM=2BE=2，
∵AN=8-t，EM=8-1-（3t-4）=11-3t，
則：8-t-（11-3t）=2
解得：t=5，
M于E左側(cè)時(shí)，AN-EM=2BM，
∵M(jìn)E=1-（12-2t）=2t-11，BM=12-2t，
∴8-t-（2t-11）=2（12-2t），
解得：t=

5

2

，
∴當(dāng)t=

5

2

時(shí)，點(diǎn)A、E、M、N組成等腰梯形．

（3）由（1）知，點(diǎn)N一直在AD上運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到BC邊上的時(shí)候，點(diǎn)A、E、M、N才可能組成平行四邊形，所以2＜t＜8，
設(shè)經(jīng)過(guò)t秒，四點(diǎn)可組成平行四邊形．分兩種情形：
①當(dāng)M點(diǎn)在E點(diǎn)右側(cè)，
如圖2：此時(shí)AN=EM，則四邊形AEMN是平行四邊形，
∵DN=t，CM=3t-4，
∴AN=8-t，EM=8-1-（3t-4），
∴8-t=8-1-（2t-4），
即：t-（3t-4）=1，解得t=

5

2

，
當(dāng)M點(diǎn)在B點(diǎn)與E點(diǎn)之間，則MC=3t-4，BM=8-（3t-4）=12-3t，
∴ME=1-（12-3t）=3t-11，
3t-11=8-t，解得t=

19

4

（舍去），
∴當(dāng)t=

5

2

時(shí)，點(diǎn)A、E、M、N組成平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)，難度較大，點(diǎn)的運(yùn)用會(huì)使學(xué)生感覺(jué)有一定的困難，但仔細(xì)分析后會(huì)發(fā)現(xiàn)考查的還是一些基本性質(zhì)的運(yùn)用．