Question

【題目】如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)E處，過點(diǎn)E作EG∥CD交AF于點(diǎn)G，連接DG．

（1）求證：四邊形EFDG是菱形；
（2）求證：EG2= AFGF；
（3）若AG=6，EG=2 ，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵GE∥DF，

∴∠EGF=∠DFG．

∵由翻折的性質(zhì)可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，

∴∠DGF=∠DFG．

∴GD=DF．

∴DG=GE=DF=EF．

∴四邊形EFDG為菱形

（2）證明：如圖1所示：連接DE，交AF于點(diǎn)O．

∵四邊形EFDG為菱形，

∴GF⊥DE，OG=OF= GF．

∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，

∴△DOF∽△ADF．

∴ = ，即DF2=FOAF．

∵FO= GF，DF=EG，

∴EG2= GFAF

（3）如圖2所示：過點(diǎn)G作GH⊥DC，垂足為H．

∵EG2= GFAF，AG=6，EG=2 ，

∴20= FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0．

解得：FG=4，F(xiàn)G=﹣10（舍去）．

∵DF=GE=2 ，AF=10，

∴AD= =4 ．

∵GH⊥DC，AD⊥DC，

∴GH∥AD．

∴△FGH∽△FAD．

∴ = ，即 = ．

∴GH= ．

∴BE=AD﹣GH=4 ﹣ =

【解析】（1）先依據(jù)翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明∠DGF=∠DFG，從而得到GD=DF，接下來(lái)依據(jù)翻折的性質(zhì)可證明DG=GE=DF=EF即可得到四邊形EFDG為菱形；
（2）連接DE，交AF于點(diǎn)O．由菱形的性質(zhì)可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下來(lái)，由△DOF∽△ADF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可證明DF2=FOAF，于是可得到EG2= GFAF；
（3）過點(diǎn)G作GH⊥DC，垂足為H．利用（2）的結(jié)論可求得FG=4，然后再△ADF中依據(jù)勾股定理可求得AD的長(zhǎng)，然后再證明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性質(zhì)可求得GH的長(zhǎng)，最后依據(jù)BE=AD-GH求解即可BE的長(zhǎng)．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解勾股定理的概念(直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2)，還要掌握矩形的性質(zhì)(矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對(duì)角線相等)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．