Question

已知，在平面直角坐標系xoy中，點A的坐標為（0，2），點P（m，n）是拋物線上的一個動點．
（1）①如圖1，過動點P作PB⊥x軸，垂足為B，連接PA，求證：PA=PB；
②如圖2，設C的坐標為（2，5），連接PC，AP+PC是否存在最小值？如果存在，求點P的坐標；如果不存在，請說明理由；
（2）如圖3，過動點P和原點O作直線交拋物線于另一點D，若AP=2AD，求直線OP的解析式．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）①設P（m，n）得出PB=

1

4

m²+1，再根據(jù)A（0，2）得出AP=

1

4

m²+1，即可證出PB=PA；
②過點P作PB⊥x軸于B，由PA=PB得出要使AP+CP最小，只需當C，P，B共線時即可，再根據(jù)點P的橫坐標等于點C（2，5）的橫坐標，即可得出答案；
（2）作DE⊥x軸于E，作PF⊥x軸于F，先得出PF=2DE，再根據(jù)

OE

OF

=

DE

PF

=

1

2

，得出設P（m，

1

4

m²+1），則D（

1

2

m，

1

8

m²+

1

2

），根據(jù)

1

8

m²+

1

2

=

1

4

（

1

2

m）²+1，求出m，從而得出點P的坐標，最后代入求解即可．

解答：解：（1）①設P（m，n）
∴n=

1

4

m²+1，
∵PB⊥x 軸，
∴PB=

1

4

m²+1，
∵A（0，2）
∴AP=

m2+( 1 4 m2-1)2

=

1

4

m²+1，
∴PB=PA；
                
②過點P作PB⊥x軸于B，由（1）得PA=PB，
所以要使AP+CP最小，只需當BP+CP最小，因此當C，P，B共線時取得，
此時點P的橫坐標等于點C（2，5）的橫坐標，
所以點P的坐標為（2，2），

（2）如圖，作DE⊥x軸于E，作PF⊥x軸于F，
由（1）得：DA=DE，PA=PF
∵PA=2DA，
∴PF=2DE，
∵△ODE∽△OPF，
∴

OE

OF

=

DE

PF

=

1

2

，
設P（m，

1

4

m²+1），則D（

1

2

m，

1

8

m²+

1

2

）
∵點D在拋物線y=

1

4

x²+1上，
∴

1

8

m²+

1

2

=

1

4

（

1

2

m）²+1，
解得m=±2

2

，
∴P₁（2

2

，3），直線OP的解析式為y=

3 2

8

x，
P₂（-2

2

，3）直線OP的解析式為y=-

3 2

8

x，
綜上所求，所求直線OP的解析式為y=

3 2

8

x或y=-

3 2

8

x．

點評：此題考查了二次函數(shù)的綜合，用到的知識點是待定系數(shù)法、相似三角形的性質(zhì)、勾股定理，關鍵是根據(jù)題意做出輔助線，列出算式，注意分類討論思想的運用．