如圖,在△ABC中,AB=AC,⊙O是△ABC的外接圓,AE⊥AB交BC于點(diǎn)D,交⊙O于點(diǎn)E,F(xiàn)在DA的延長線上,且AF=AD.
(1)求證:BF是⊙O的切線;
(2)若cos∠ABF=
4
5
,求
CD
BD
的值.
考點(diǎn):切線的判定
專題:
分析:(1)利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出∠FBA=∠ABD,進(jìn)而求出∠FBA+∠ABC+∠CBE=90°,即可得出答案;
(2)利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出BD,AD,DE的長,進(jìn)而求出CD的長,進(jìn)而得出答案.
解答:(1)證明:連接BE,可得出BE必過圓心,則BE是⊙O的半徑,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵AF=AD,AE⊥AB,
∴BF=BD,
∴∠FBA=∠ABD,
∴∠C=∠E=∠FBA,
∵∠BAE=90°,
∴∠FBA+∠ABC+∠CBE=90°,
∴∠FBE=90°,
∴BF是⊙O的切線;

(2)解:∵BF是⊙O的切線,
∴∠FBA=∠E=∠ABD,
∵cos∠ABF=
4
5
,
∴設(shè)AB=4x,則BF=5x,AD=3x,BD=5x,
設(shè)AE=4y,則BE=5y,
∴(4x)2+(4y)2=(5y)2,
解得:y=
4
3
x,
∴AE=
4
3
x×4=
16
3
x,
∴DE=
7
3
x,
∵AD×DE=BD×CD,
∴3x•
7
3
x=5x•CD,
解得:CD=
7
5
x,
CD
BD
=
7
5
x
5x
=
7
25
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了切線的判定與性質(zhì)以及相交線定理和勾股定理等知識(shí),根據(jù)已知用一個(gè)未知數(shù)表示出AD,DE,BD,CD的長是解題關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知:|a|=4,|b|=2,且a>b,求a、b的值.

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某校初三在綜合實(shí)踐活動(dòng)中舉行了“應(yīng)用數(shù)字”智能比賽,按分?jǐn)?shù)高低取前60名獲獎(jiǎng),原定一等獎(jiǎng)5人,二等獎(jiǎng)15人,三等獎(jiǎng)40人,現(xiàn)調(diào)整為一等獎(jiǎng)10人,二等獎(jiǎng)20人,三等獎(jiǎng)30人,調(diào)整后一等獎(jiǎng)平均分降低3分,二等獎(jiǎng)平均分降低2分,三等獎(jiǎng)平均分降低1分,如果原來二等獎(jiǎng)比三等獎(jiǎng)平均分?jǐn)?shù)多7分,則調(diào)整后一等獎(jiǎng)比二等獎(jiǎng)平均分?jǐn)?shù)多
 
分.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P(x,y)經(jīng)過變換τ得到點(diǎn)P′(x′,y′),該變換記作τ(x,y)=(x′,y′),其中
x′=ax+by
y′=ax-by
(a,b為常數(shù)).例如,當(dāng)a=1,且b=1時(shí),τ(-2,3)=(1,-5).
(1)當(dāng)a=1,且b=-2時(shí),τ(0,1)=
 
;
(2)若τ(1,2)=(0,-2),則a=
 
,b=
 
;
(3)設(shè)點(diǎn)P(x,y)是直線y=2x上的任意一點(diǎn),點(diǎn)P經(jīng)過變換τ得到點(diǎn)P′(x′,y′).若點(diǎn)P與點(diǎn)P′重合,求a和b的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,在△ABC中,AB=AC,M,N分別是AB,AC的中點(diǎn),D,E為BC上的點(diǎn),連接DN,EM.若AB=10cm,BC=16cm,DE=4cm,則圖中陰影部分的面積為( 。
A、2B、3C、4D、6

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,P是⊙O外一點(diǎn),PA是⊙O的切線,A是切點(diǎn),B是⊙O上一點(diǎn),且PA=PB,延長BO分別與⊙O切線PA相交于點(diǎn)C、Q兩點(diǎn).
(1)求證:PB是⊙O的切線;
(2)D為PB的中點(diǎn),QD交AB于點(diǎn)E,若⊙O的半徑為3,CQ=2,求
AE
BE
的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

拋物線y=(m-1)
x
m
2
 
+1
 
的開口向
 

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一快餐店試銷一種成本為5元/份的套餐,該店銷售這種套餐每天的固定支出為600元(不含套餐成本),若每份的售價(jià)不超過10元,每天可銷售400份;若每份的售價(jià)超過10元,每提高1元,每天的銷售量就減少40份,設(shè)每份套餐的售價(jià)為x元(x>5且x為整數(shù)).
(1)用y元表示該店的日凈收入,求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若每份套餐售價(jià)不超過10元,要使該店的日凈收入不少于800元,則每份套餐的售價(jià)應(yīng)定為多少元?
(3)該店既要薄利多銷,又要使日凈收入最高,那么每份套餐的售價(jià)應(yīng)定為多少元?(日凈收入=每天的銷售額-套餐成本-每天的固定支出)

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梯形的面積為80,高為4,則梯形的中位線為
 

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