Question

如圖，P是⊙O外一點，PA是⊙O的切線，A是切點，B是⊙O上一點，且PA=PB，延長BO分別與⊙O切線PA相交于點C、Q兩點．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）D為PB的中點，QD交AB于點E，若⊙O的半徑為3，CQ=2，求

AE

BE

的值．

Answer 1

考點：切線的判定與性質,相似三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：（1）根據切線的性質由PA是⊙O的切線得到∠OAP=90°，再利用“SSS”判斷△POA≌△POB，則∠OBP=∠OAP=90°，然后根據切線的判定定理即可得到結論；
（2）先用勾股定理計算出AQ=4，再計算出AP=6，利用切線長定理可得到H點為AB的中點，易得DH為△BAP的中位線，則DH=

1

2

PA=3，DH∥PA，利用DH∥AQ得到△DHE∽△QEA，所以

AE

HE

=

AQ

DH

=

4

3

，設AE=4t，HE=3t，則AH=AE+HE=7t，于是BE=BH+HE=AH+HE=10t，最后計算

AE

BE

．

解答：（1）證明：連結OA，如圖，
∵PA是⊙O的切線，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
在△POA和△POB中

PA=PB OA=OB PO=PO

，
∴△POA≌△POB（SSS），
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∴OB⊥PB，
∴PB是⊙O的切線；

（2）AB與OP交于H，連結DH，如圖，
在Rt△OCA中，OQ=OC+CQ=3+2=5，OA=3，則AQ=

52-32

=4，
設PA=x，則PB=x，PQ=4+x，
在Rt△PBQ中，∵BQ²+BP²=PQ²，
∴8²+x²=（x+4）²，解得x=6，
∴PA=PB=6，
∵PA與PB為⊙O的切線，
∴OP平分∠BPA，
∴OP垂直平分AB，即點H為AB的中點，
∵D為PB的中點，
∴DH為△BAP的中位線，
∴DH=

1

2

PA=3，DH∥PA，
∵DH∥AQ，
∴△DHE∽△QEA，
∴

AE

HE

=

AQ

DH

=

4

3

，
設AE=4t，HE=3t，則AH=AE+HE=7t，
∴BE=BH+HE=AH+HE=7t+3t=10t，
∴

AE

BE

=

4t

10t

=

2

5

．

點評：本題考查了切線的判定與性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑；經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了勾股定理和相似三角形的判定與性質．