【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,平行四邊形ABOC如圖放置,點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別是(0,4)、(-1,0),將此平行四邊形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到平行四邊形A′B′OC′.
(1)若拋物線過(guò)點(diǎn)C、A、A′,求此拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),問(wèn):當(dāng)點(diǎn)M在何處時(shí),△AMA′的面積最大?最大面積是多少?并求出此時(shí)M的坐標(biāo);
(3)若P為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),N為x軸上的一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q坐標(biāo)為(1,0),當(dāng)P、N、B、Q 構(gòu)成平行四邊形時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo),當(dāng)這個(gè)平行四邊形為矩形時(shí),求點(diǎn)N的坐標(biāo).
【答案】(1)y=-x2+3x+4;(2)△AMA′的面積最大S△AMA′=8,M(2,6);(3)當(dāng)P1(0,4),P2(3,4),P3(,-4),P4(,-4)時(shí),P、N、B、Q構(gòu)成平行四邊形;當(dāng)這個(gè)平行四邊形為矩形時(shí),N1(0,0),N2(3,0).
【解析】
試題分析:(1)先由OA′=OA得到點(diǎn)A′的坐標(biāo),再用點(diǎn)C、A、A′的坐標(biāo)即可求此拋物線的解析式;(2)連接AA′, 過(guò)點(diǎn)M 作MN⊥x軸,交AA′于點(diǎn)N,把△AMA′分割為△AMN和△A′MN, △AMA′的面積=△AMA′的面積+△AMN的面積=OA′MN,設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x,借助拋物線的解析式和AA′的解析式,建立MN的長(zhǎng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,再據(jù)此建立△AMA′的面積關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式,再求△AMA′面積的最大值以及此時(shí)M的坐標(biāo);(3)在P、N、B、Q 這四個(gè)點(diǎn)中,B、Q 這兩個(gè)點(diǎn)是固定點(diǎn),因此可以考慮將BQ作為邊、將BQ作為對(duì)角線分別構(gòu)造符合題意的圖形,再求解.
試題解析:(1)∵平行四邊形ABOC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到平行四邊形A′B′OC′,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(0,4),∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(4,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,4).
∵拋物線過(guò)點(diǎn)C,A,A′,設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c(a≠0),可得:
. 解得:.∴拋物線的函數(shù)解析式為y=-x2+3x+4.
(2)連接AA′,設(shè)直線AA′的函數(shù)解析式為y=kx+b,可得
.解得:.
∴直線AA'的函數(shù)解析式是y=-x+4.
設(shè)M(x,-x2+3x+4),
S△AMA′=×4×[-x2+3x+4一(一x+4)]=一2x2+8x=一2(x-2)2+8.
∴x=2時(shí),△AMA′的面積最大S△AMA′=8.
∴M(2,6).
(3)設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,-x2+3x+4),當(dāng)P、N、B、Q構(gòu)成平行四邊形時(shí),
①當(dāng)BQ為邊時(shí),PN∥BQ且PN=BQ,
∵BQ=4,∴一x2+3x+4=±4.
當(dāng)一x2+3x+4=4時(shí),x1=0,x2=3,即P1(0,4),P2(3,4);
當(dāng)一x2+3x+4=一4時(shí),x3=,x4=,即P3(,-4),P4(,-4);
②當(dāng)BQ為對(duì)角線時(shí),PB∥x軸,即P1(0,4),P2(3,4);
當(dāng)這個(gè)平行四邊形為矩形時(shí),即Pl(0,4),P2(3,4)時(shí),N1(0,0),N2(3,0).
綜上所述,當(dāng)P1(0,4),P2(3,4),P3(,-4),P4(,-4)時(shí),P、N、B、Q構(gòu)成平行四邊形;當(dāng)這個(gè)平行四邊形為矩形時(shí),N1(0,0),N2(3,0).
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【題目】下列運(yùn)算正確的是( 。
A.(﹣2x)3=﹣8x3B.(3x2)3=9x6
C.x3x2=x6D.x2+2x3=3x5
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【題目】某班預(yù)開(kāi)展社團(tuán)活動(dòng),對(duì)全班42名學(xué)生開(kāi)展“你最喜歡的社團(tuán)”問(wèn)卷調(diào)查(每人只選一項(xiàng)),并將結(jié)果制成如下統(tǒng)計(jì)表,則學(xué)生最喜歡的項(xiàng)目是( 。
社團(tuán)名稱 | 籃球 | 足球 | 唱歌 | 器樂(lè) |
人數(shù)(人) | 11 | x | 9 | 8 |
A. 籃球B. 足球C. 唱歌D. 器樂(lè)
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【題目】如圖1,已知開(kāi)口向下的拋物線y1=ax2﹣2ax+1過(guò)點(diǎn)A(m,1),與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為B,將拋物線y1繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線y2,點(diǎn)A,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D,E.
(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)A,C,D的坐標(biāo);
(2)當(dāng)四邊形ABCD是矩形時(shí),求a的值及拋物線y2的解析式;
(3)在(2)的條件下,連接DC,線段DC上的動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止,在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,過(guò)點(diǎn)P作直線l⊥x軸,將矩形ABDE沿直線l折疊,設(shè)矩形折疊后相互重合部分面積為S平方單位,點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,求S與t的函數(shù)關(guān)系.
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【題目】下列事件中,屬于必然事件的是( )
A.明天我市下雨
B.拋一枚硬幣,正面朝下
C.購(gòu)買一張福利彩票中獎(jiǎng)了
D.擲一枚骰子,向上一面的數(shù)字一定大于零
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【題目】對(duì)于一組數(shù)據(jù):x1,x2,x3,…,x10,若去掉一個(gè)最大值和一個(gè)最小值,則下列統(tǒng)計(jì)量一定不會(huì)發(fā)生變化的是( 。
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【題目】拋物線y=(x-3)-1可以由拋物線y=x+1平移得到,則下列平移方法正確的是( )
A.先向左平移3個(gè)單位,再向上平移2個(gè)單位
B.先向左平移3個(gè)單位,再向下平移2個(gè)單位
C.先向右平移3個(gè)單位,再向上平移2個(gè)單位
D.先向右平移3個(gè)單位,再向下平移2個(gè)單位
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