Question

【題目】問(wèn)題提出：用n根相同的木棒搭一個(gè)三角形（木棒無(wú)剩余），能搭成多少種不同的等腰三角形？

問(wèn)題探究：不妨假設(shè)能搭成m種不同的等腰三角形，為探究m與n之間的關(guān)系，我們可以從特殊入手，通過(guò)試驗(yàn)、觀察、類(lèi)比，最后歸納、猜測(cè)得出結(jié)論．

探究一：

（1）用3根相同的木棒搭成一個(gè)三角形，能搭成多少種不同的三角形？此時(shí)，顯然能搭成一種等腰三角形．所以，當(dāng)n＝3時(shí)，m＝1

（2）用4根相同的木棒搭成一個(gè)三角形，能搭成多少種不同的三角形？只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒這一種情況，不能搭成三角形，所以，當(dāng)n＝4時(shí)，m＝0

（3）用5根相同的木棒搭成一個(gè)三角形，能搭成多少種不同的三角形？若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，則不能搭成三角形？若分為2根木棒、2根木棒和1根木棒，則能搭成一種等腰三角形，所以，當(dāng)n＝5時(shí)，m＝1

（4）用6根相同的木棒搭成一個(gè)三角形，能搭成多少種不同的三角形？若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，則不能搭成三角形？若分為2根木棒、2根木棒和2根木棒，則能搭成一種等腰三角形，所以，當(dāng)n＝6時(shí)，m＝1

綜上所述，可得表①

n	3	4	5	6
m	1	0	1	1

探究二：

（1）用7根相同的木棒搭成一個(gè)三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？（仿照上述探究方法，寫(xiě)出解答過(guò)程，并把結(jié)果填在表②中）

（2）分別用8根、9根、10根相同的木棒搭成一個(gè)三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？（只需把結(jié)果填在表②中）

n	7	8	9	10
m

你不妨分別用11根、12根、13根、14根相同的木棒繼續(xù)進(jìn)行探究，…

解決問(wèn)題：用n根相同的木棒搭一個(gè)三角形（木棒無(wú)剩余），能搭成多少種不同的等腰三角形？

（設(shè)n分別等于4k﹣1、4k、4k+1、4k+2，其中k是整數(shù)，把結(jié)果填在表 ③中）

n	4k﹣1	4k	4k+1	4k+2
m

問(wèn)題應(yīng)用：用2016根相同的木棒搭一個(gè)三角形（木棒無(wú)剩余），能搭成多少種不同的等腰三角形？（要求寫(xiě)出解答過(guò)程）其中面積最大的等腰三角形每個(gè)腰用了　 　根木棒．（只填結(jié)果）

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；解決問(wèn)題：見(jiàn)解析；問(wèn)題應(yīng)用：503個(gè)不同的等腰三角形，672

【解析】

探究二：

（1）周長(zhǎng)為7，讓腰長(zhǎng)從1開(kāi)始逐個(gè)驗(yàn)證即可；

（2）周長(zhǎng)為8、9、10，方法同上；

解決問(wèn)題：

問(wèn)題的本質(zhì)是，給定三角形的周長(zhǎng)n，且n=2a+b，求滿足要求的a的整數(shù)解的個(gè)數(shù)m．因此，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，我們將a的取值范圍用n表示出來(lái)，從而就可以確定n在取任意值時(shí)，a的整數(shù)解個(gè)數(shù)m；

任意一個(gè)整數(shù)，均可以表示成4k-1，4k，4k+1，4k+2四種形式當(dāng)中的一種，讓n取這四種值，得出m的值填表；

問(wèn)題應(yīng)用：

根據(jù)上面探究得出的一般結(jié)論，只需看2016符號(hào)哪種情況即可．n=2016=504×4，m=504-1=503；

周長(zhǎng)相同的情況下，等邊三角形面積最大；

探究二：

（1）7＝1+1+5（舍去）；

7＝2+2+3（符合要求）；

7＝3+3+1（符合要求）；

（2）8＝1+1+6（舍去）；

8＝2+2+4（舍去）；

8＝3+3+2（符合要求）；

9＝1+1+7（舍去）；

9＝2+2+5（舍去）；

9＝3+3+3（符合要求）；

9＝4+4+1（符合要求）；

10＝1+1+8（舍去）；

10＝2+2+6（舍去）；

10＝3+3+4（符合要求）；

10＝4+4+2（符合要求）；

填表如下：

n	7	8	9	10
m	2	1	2	2

解決問(wèn)題：

令n＝a+a+b＝2a+b，

則：b＝n﹣2a，

根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理可知：

2a＞b且b＞0，

∴，

解得：，

若n＝4k﹣1，則，a的整數(shù)解有k個(gè)；

若n＝4k，則k＜a＜2k，a的整數(shù)解有k﹣1個(gè)；

若n＝4k+1，則，a的整數(shù)解有k個(gè)；

若n＝4k+2，則，a的整數(shù)解有k個(gè)；

填表如下：

n	4k﹣1	4k	4k+1	4k+2
m	k	k﹣1	k	k

問(wèn)題應(yīng)用：

∵2016＝4×504，

∴k＝504，

則可以搭成k﹣1＝503個(gè)不同的等腰三角形；

當(dāng)?shù)妊�三角形是等邊三角形時(shí)，面積最大，

∴2016÷3＝672．