【題目】如圖,直線y=﹣x+4與拋物線y=﹣x2+bx+c交于AB兩點(diǎn),點(diǎn)Ay軸上,點(diǎn)Bx軸上.

1)求拋物線的解析式;

2)在x軸下方的拋物線上存在一點(diǎn)P,使得∠ABP90°,求出點(diǎn)P坐標(biāo);

3)點(diǎn)E是拋物線對稱軸上一點(diǎn),點(diǎn)F是拋物線上一點(diǎn),是否存在點(diǎn)E和點(diǎn)F使得以點(diǎn)E,F,B,O為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,求出點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】1y=﹣x2+x+4;(2P(4,-8);(3)存在,點(diǎn)F的坐標(biāo)為(5,),(﹣3,),(3,).

【解析】

1)由直線表達(dá)式求出點(diǎn)AB的坐標(biāo),把AB點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式,即可求解;
2OA=OB=4,則OBAC的垂直平分線,則點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,-4),求出直線BC的表達(dá)式,即可求解;
3)存在;分OB是平行四邊形的一條邊或一條對角線兩種情況,分別求解即可.

解:(1)在y=﹣x+4中,

當(dāng)x0時, y4,當(dāng)y0時,x4,

即點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(04)、(4,0),

將(0,4)、(4,0),代入二次函數(shù)表達(dá)式,并解得:

b=1,c=4

拋物線的解析式為:y=﹣x2+x+4;

2)∵OAOB4

∴∠ABO45°,

∵∠ABP90°,

則∠PBO=45°

若直線PBy軸于點(diǎn)M,

OM=OB=4,

可得直線BP的解析式為:y=x4

聯(lián)立:y=x4,y=﹣x2+x+4,得:

x=4y=0(B點(diǎn));x=4,y=8,

P(4,-8);

3)存在;

y=﹣x2+x+4知拋物線的對稱軸為:x=1,

設(shè)E(1,m),F(n,﹣n2+n+4),O(0,0),B(4,0),

①當(dāng)四邊形OBEF是平行四邊形時,

有:EF=4,

n-1=-4,即n=-3,

F點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,);

②當(dāng)四邊形OBFE是平行四邊形時,

有:EF=4,

n-1=4,即n=5,

F點(diǎn)坐標(biāo)為(5,);

③當(dāng)四邊形OFBE是平行四邊形時,

有:,

n=3,

F點(diǎn)坐標(biāo)為(3,);

綜上所述:點(diǎn)F的坐標(biāo)為(5),(﹣3,),(3,).

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