Question

如圖所示，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE，∠ABE=2∠C，求證：AC-AB=2BE．

Answer 1

考點：等腰三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：延長BE交AC于M，根據(jù)三角形內角和可得∠3=∠4，可得AB=AM，再根據(jù)條件可證明MC=MB，可得到結論．

解答：證明：如圖，延長BE交AC于M，
∵BE⊥AE，
∴∠AEB=∠AEM=90°，
在△ABE中，
∵∠1+∠3+∠AEB=180°，
∴∠3=90°-∠1，
同理，∠4=90°-∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∴AB=AM，
∵BE⊥AE，
∴BM=2BE，
∴AC-AB=AC-AM=CM，
∵∠4是△BCM的外角，
∴∠4=∠5+∠C，
∵∠ABC=3∠C，∴∠ABC=∠3+∠5=∠4+∠5，
∴3∠C=∠4+∠5=2∠5+∠C，
∴∠5=∠C，
∴CM=BM，
∴AC-AB=BM=2BE．

點評：本題主要考查等腰三角形的判定和性質，構造等腰三角形，證得AC-AB=MC=BM是解題的關鍵．