Question

如圖，四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標(biāo)分別為（10，0），（0，2），點D是線段BC上的動點（與端點B、C不重合），過點D作直線y=-

1

2

x+m交折線OAB于點E．記△ODE的面積為S．
（1）當(dāng)點E在OA上時，問：是否存在m，當(dāng)ED繞點E旋轉(zhuǎn)時，點D能恰好落到AB的中點M處？若存在，請求出m的值，若不存在，請說明理由．
（2）求S與m的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)函數(shù)值，可得相應(yīng)自變量的值，可得E、D點坐標(biāo)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得DE=EM，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案；
（2）分類討論：當(dāng)0＜m＜5時，根據(jù)三角形的面積，可得函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)5＜m＜7時，根據(jù)三角形面積的和差，可得函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）存在m，當(dāng)ED繞點E旋轉(zhuǎn)時，點D能恰好落到AB的中點M處，理由如下：
當(dāng)y=0時，-

1

2

x+m=0，解得x=2m，即E點坐標(biāo)（2m，0），
當(dāng)y=2時，-

1

2

x+m=2，解得x=2m-4，即D（2m-4，2）．
由A（10，0），B（10，2）得M（10，1）
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得
DE=EM，DE²=EM²，即[（2m-4）-2m]²+2²=（2m-10）²+1²．
化簡，得（2m-10）²=19
解得m₁=5+

19

2

，m₂=5-

19

2

；
（2）當(dāng)0＜m＜5時，S=

1

2

OD•DF=

1

2

×2×2m，即S=2m；
當(dāng)5＜m＜7時，當(dāng)x=10時，-

1

2

×10+m=y，解得y=m-5，E（10，m-5），F(xiàn)（2m，0），
S=S_△ODF-S_△OEF=

1

2

×2×2m-

1

2

×2m×（m-5），
化簡，得S=-m²+7m，
綜上所述：S=

2m(0＜m＜5) -m2+7m(5＜m＜7)

．

點評：本題考查了一次函數(shù)綜合體，利用了函數(shù)值得出自變量的值，利用了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小形狀；利用三角形的面積得出函數(shù)解析式．