【題目】九年級學生小剛是一個喜歡看書的好學生,他在學習完第二十四章圓后,在家里突然看到爸爸的初中數(shù)學書上居然還有一個相交弦定理(圓內的兩條相交弦,被交點分成的兩條線段長的積相等),非常好奇,仔細閱讀原來就是:PAPB=PCPD,小剛很想知道是如何證明的,可異證明部分污損看不清了,只看到輔助線的做法,分別連結AC、BD.聰明的你一定能幫他證出,請在圖1中做出輔助線,并寫出詳細的證明過程.

小剛又看到一道課后習題,如圖2,AB是⊙O弦,P是AB上一點,AB=10cm,PA=4cm,OP=5cm,求⊙O的半徑,愁壞了小剛,樂于助人的你肯定會幫助他,請寫出詳細的證明過程.

【答案】(1)見解析;(2)⊙O的半徑R為7.

【解析】

(1)連結AC,BD,根據(jù)圓周角定理得到∠C=B,A=D,再根據(jù)三角形相似的判定定理得到APC∽△DPB,利用相似三角形的性質得AP:DP=CP:BP,變形有APBP=CPDP;由此得到相交弦定理;
(2)由AB=10,PA=4,OP=5,易得PB=10-4=6,PC=OC-OP=R-5,PD=OD+OP=R+5,根據(jù)相交弦定理得到PAPB=PCPD,即4×6=(R-5)×(R+5),解方程即可得到R的值.

(1)圓的兩條弦相交,這兩條弦被交點分成的兩條線段的積相等.

已知,如圖1,⊙O的兩弦AB、CD相交于E,

求證:APBP=CPDP.

證明如下:

連結AC,BD,如圖1,

∵∠C=∠B,∠A=∠D,

∴△APC∽△DPB,

∴AP:DP=CP:BP,

∴APBP=CPDP;

所以兩條弦相交,被交點分成的兩條線段的積相等.

(2)過P作直徑CD,如圖2,

∵AB=10,PA=4,OP=5,

∴PB=10﹣4=6,PC=OC﹣OP=R﹣5,PD=OD+OP=R+5,

由(1)中結論得,PAPB=PCPD,

∴4×6=(R﹣5)×(R+5),

解得R=7(R=﹣7舍去).

所以⊙O的半徑R=7.

練習冊系列答案
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