將矩形OABC置于平面直角坐標系中,點A的坐標為(0,4),點C的坐標為(m,0)(m>0),點D(m,1)在BC上,將矩形OABC沿AD折疊壓平,使點B落在坐標平面內(nèi),設(shè)點B的對應(yīng)點為點E.

(1)當m=3時,點B的坐標為       ,點E的坐標為         ;
(2)隨著m的變化,試探索:點E能否恰好落在x軸上?若能,請求出m的值;若不能,請說明理由.
(3)如圖,若點E的縱坐標為-1,拋物線(a≠0且a為常數(shù))的頂點落在△ADE的內(nèi)部,求a的取值范圍.
解:(1)點B的坐標為(3,4),點E的坐標為(0,1)。
(2)點E能恰好落在x軸上。理由如下:
∵四邊形OABC為矩形,∴BC=OA=4,∠AOC=∠DCE=90°。
由折疊的性質(zhì)可得:DE=BD=OA-CD=4-1=3,AE=AB=OC=m。
如圖1,假設(shè)點E恰好落在x軸上,

在Rt△CDE中,由勾股定理可得
,
則有
在Rt△AOE中,OA2+OE2=AE2
,解得
(3)如圖2,過點E作EF⊥AB于F,EF分別與AD、OC交于點G、H,過點D作DP⊥EF于點P,則EP=PH+EH=DC+EH=2,

在Rt△PDE中,由勾股定理可得
,
∴BF=DP=
在Rt△AEF中,AF=AB?BF=m?,EF=5,AE=m,
∵AF2+EF2=AE2,即,解得m=3。
∴AB=3,AF=2,E(2,-1)。
∵∠AFG=∠ABD=90°,∠FAG=∠BAD,∴△AFG∽△ABD。
,即,解得FG=2。∴EG=EF-FG=3。∴點G的縱坐標為2。
,
∴此拋物線的頂點必在直線x=2上。
又∵拋物線的頂點落在△ADE的內(nèi)部,
∴此拋物線的頂點必在EG上。
∴-1<10-20a<2,解得。
∴a的取值范圍為。

試題分析:(1)根據(jù)點A、點D、點C的坐標和矩形的性質(zhì)可以得到點B和點E的坐標。
(2)由折疊的性質(zhì)求得線段DE和AE的長,然后利用勾股定理得到有關(guān)m的方程,求得m的值即可。
(3)過點E作EF⊥AB于F,EF分別與 AD、OC交于點G、H,過點D作DP⊥EF于點P,首先利用勾股定理求得線段DP的長,從而求得線段BF的長,再利用△AFG∽△ABD得到比例線段求得線段FG的長,最后求得a的取值范圍。
練習冊系列答案
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