Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BD平分∠ABC交AC于D．
（1）求證：△ABC∽△BDC；
（2）設(shè)AB=1，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由AB=AC，∠BAC=36°，得∠ABC=∠C=72°，再由BD平分∠ABC，得∠ABD=∠CBD=36°，因此△ABC∽△BDC；
（2）由△ABC∽△BDC，得出AB：BD=BC：DC，再證出AD=BD=BC即可求出BC的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴△ABC∽△BDC；
（2）解：設(shè)BC為x；∵△ABC∽△BDC，
∴

AB

BD

=

BC

DC

，
∵∠BAC=∠ABD=∠CBD，∠BDC=∠BAC+∠ABD=72°，
∴AD=BD，∠BDC=∠C，
∴BD=BC=AD，
∴BD=AD=x，DC=1-x，
∴

1

x

=

x

1-x

，即x²=1-x，
解得x=

-1± 5

2

（負(fù)值舍去），
∴x=

-1+ 5

2

，
即BC=

-1+ 5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形相似是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．