【題目】已知拋物線y=x22x+3x軸于點(diǎn)A、C(點(diǎn)A在點(diǎn)C左側(cè)),交y軸于點(diǎn)B

(1)求A,B,C三點(diǎn)坐標(biāo);

(2)如圖1,點(diǎn)DAC中點(diǎn),點(diǎn)E在線段BD上,且BE=2DE,連接CE并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)M,求點(diǎn)M坐標(biāo);

(3)如圖2,將直線AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)15°后交y軸于點(diǎn)G,連接CG,點(diǎn)P為△ACG內(nèi)一點(diǎn),連接PA、PC、PG,分別以AP、AG為邊,在它們的左側(cè)作等邊△APR和等邊△AGQ,求PA+PC+PG的最小值,并求當(dāng)PA+PC+PG取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)(直接寫(xiě)出結(jié)果即可).

【答案】(1)A(﹣3,0),C1,0),B03);(2)M(﹣);(3)2,P(﹣,).

【解析】

1)拋物線中,令,可得AC坐標(biāo);當(dāng)x=0時(shí),可得B的坐標(biāo);

2)首先利用A、C坐標(biāo),求出D的坐標(biāo),根據(jù)BE=2ED,求出點(diǎn)E坐標(biāo),求出直線CE,利用方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)M即可;

3)先證明△QAR≌△GAP即可得出QR=PG,進(jìn)而得到PA+PC+PG=PR+PC+QR,可得當(dāng)Q,RP,C共線時(shí),PA+PC+PG的值最小,即為線段QC的長(zhǎng),作QNOAN,AMQCMPKOAK,利用勾股定理求得QC的長(zhǎng),再求出AM,CM,利用等邊三角形性質(zhì)求出APPM、PC,由此即可解決問(wèn)題.

解:(1)拋物線y=x22x+3中,令y=x22x+3=0,可得x1=1,x2=3,

A(﹣3,0),C1,0),

當(dāng)x=0時(shí),y=3,

B03);

2)∵點(diǎn)DAC中點(diǎn),A(﹣3,0),C1,0),

D(﹣1,0),

BE=2DE,B0,3),

E(﹣,1),

設(shè)直線CEy=kx+b,把C1,0),E(﹣,1)代入,可得

,解得,

∴直線CEy=x+,

解方程組,可得,

M在第二象限,

M(﹣,);

3)∵△APR和△AGQ是等邊三角形,

AP=AR=PR,AQ=AG,∠QAG=RAP=60°,

∴∠QAR=GAP,

在△QAR和△GAP中,

∴△QAR≌△GAPSAS),

QR=PG,

PA+PC+PG=PR+PC+QR,

∴當(dāng)QR,P,C共線時(shí),PA+PC+PG的值最小,即為線段QC的長(zhǎng),

如圖3,作QNOAN,作AMCQM,作PKCNK,

依題意得∠GAO=45°+15°=60°AO=3,

AG=GQ=QA=6,∠AGO=30°,OG=3,

∵∠AGQ=60°

∴∠QGO=90°,

Q(﹣63),

RtQNC中,QN=3,CN=6+1=7,

QC==2,即PA+PC+PG的最小值為2,

sinACM== ,

AM== ,

∵△APR是等邊三角形,

∴∠APM=60°,PM=AMMC== ,

PC=CMPM=,

sinPCN== cosPCN== ,

PK=CK=,

OK=

P(﹣).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,將△ABC放在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中,點(diǎn)A,BC均落在格點(diǎn)上.

1)△ABC的面積等于____;

2)請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中,用無(wú)刻度的直尺,過(guò)點(diǎn)A畫(huà)一條直線,交BC于點(diǎn)D,使△ABD的面積等于△ADC面積的2倍,并簡(jiǎn)要說(shuō)明畫(huà)圖的方法(不要求證明).___

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,的直徑,且,點(diǎn)外一點(diǎn),且,分別切于點(diǎn)兩點(diǎn).的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)

1)求證:;

2)填空

①當(dāng)________時(shí),四邊形是正方形.

②當(dāng)_________時(shí),為等邊三角形.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】(問(wèn)題情境)

我們知道若一個(gè)矩形是的周長(zhǎng)固定,當(dāng)相鄰兩邊相等,即為正方形時(shí),它的面積最大.反過(guò)來(lái),若一個(gè)矩形的面積固定,它的周長(zhǎng)是否會(huì)有最值呢?

(探究方法)

用兩個(gè)直角邊分別為,的4個(gè)全等的直角三角形可以拼成一個(gè)正方形。若,可以拼成如圖所示的正方形,從而得到,即;當(dāng)時(shí),中間小正方形收縮為1個(gè)點(diǎn),此時(shí)正方形的面積等于4個(gè)直角三角形面積的和.即.于是我們可以得到結(jié)論:,為正數(shù),總有,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),代數(shù)式取得最小值.另外,我們也可以通過(guò)代數(shù)式運(yùn)算得到類似上面的結(jié)論:

,∴,

∴對(duì)于任意實(shí)數(shù),總有,且當(dāng)時(shí),代數(shù)式取最小值

使得上面的方法,對(duì)于正數(shù),試比較的大小關(guān)系.

(類比應(yīng)用)

利用上面所得到的結(jié)論完成填空

(1)當(dāng)時(shí),代數(shù)式有最 值為

(2)當(dāng)時(shí),代數(shù)式有最 值為

(3)如圖,已知是反比例函數(shù)圖象上任意一動(dòng)點(diǎn),,試求的最小面積.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,點(diǎn)P在∠MON的平分線上,點(diǎn)AB在∠MON的兩邊上,若要使△AOP≌△BOP,那么需要添加一個(gè)條件是_____

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,已知直線ly=x,過(guò)點(diǎn)A(0,1)y軸的垂線交直線l于點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)B作直線l的垂線交y軸于點(diǎn)A1;過(guò)點(diǎn)A1y軸的垂線交直線l于點(diǎn)B1,過(guò)點(diǎn)B1作直線l的垂線交y軸于點(diǎn)A2;……按此作法繼續(xù)下去,則點(diǎn)A2020的坐標(biāo)為______________

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,已知直線y=﹣x+2分別與x軸,y軸交于A,B兩點(diǎn),與雙曲線y交于E,F兩點(diǎn),若AB2EF,則k的值是_____

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(﹣3,3),B(﹣5,2),C(﹣1,1).

1)以點(diǎn)C為位似中心,作出△ABC的位似圖形△A1B1C,使其位似比為12,且ABC位于點(diǎn)C的異側(cè),并表示出點(diǎn)A1的坐標(biāo).

2)作出△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形△A2B2C

3)在(2)的條件下求出點(diǎn)B經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)(結(jié)果保留π).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖1,在矩形中,點(diǎn)分別在邊上,點(diǎn)分別在邊上,且

如圖2,過(guò)點(diǎn)于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)于點(diǎn)可知四邊形四邊形四邊形四邊形都是矩形,即,通過(guò)證明可求得的值為_

如圖3,在正方形中,點(diǎn)分別在邊上,于點(diǎn),則的值為

如圖4,在的條件下,延長(zhǎng)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)連接于點(diǎn).若的值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案