Question

如圖，△ABC的邊AB為⊙O的直徑，BC與圓交于點D，D為BC的中點，過D作DE⊥AC于E．
（1）求證：AB=AC；
（2）求證：DE為⊙O的切線；
（3）若AB=13，sinB=

12

13

，求CE的長．

Answer 1

考點：切線的判定,圓周角定理,相似三角形的判定與性質

專題：幾何綜合題

分析：（1）連接AD，利用直徑所對的圓周角是直角和等腰三角形的三線合一可以得到AB=AC；
（2）連接OD，利用平行線的判定定理可以得到∠ODE=∠DEC=90°，從而判斷DE是圓的切線；
（3）根據AB=13，sinB=

12

13

，可求得AD和BD，再由∠B=∠C，即可得出DE，根據勾股定理得出CE．

解答：（1）證明：連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°
∴AD⊥BC，又D是BC的中點，
∴AB=AC；

（2）證明：連接OD，
∵O、D分別是AB、BC的中點，
∴OD∥AC，
∴∠ODE=∠DEC=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；

（3）解：∵AB=13，sinB=

12

13

，
∴

AD

AB

=

12

13

，
∴AD=12，
∴由勾股定理得BD=5，
∴CD=5，
∵∠B=∠C，
∴

DE

CD

=

12

13

，
∴DE=

60

13

，
∴根據勾股定理得CE=

25

13

．

點評：本題目考查了切線的判定以及等腰三角形的判定及性質、圓周角定理及切線的性質，涉及的知識點比較多且碎，解題時候應該注意．