Question

如圖，動(dòng)點(diǎn)A（a，b）在雙曲線y=

6

x

（x＞0）圖象上，以A為直角頂點(diǎn)作等腰Rt△ABC（點(diǎn)B在C的左側(cè)，且均在x軸上）．
（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出a•b的值；
（2）若B（-1，0），且a、b都為整數(shù)時(shí)，試求線段BC的長(zhǎng)．
（3）直線AC與雙曲線y=

6

x

（x＞0）圖象上交于另一點(diǎn)E．問(wèn)：在點(diǎn)A整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，AC•EC的值是否會(huì)發(fā)生變化？若不會(huì)，請(qǐng)求出它的值；若會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）把A（a，b）代入雙曲線y=

6

x

（x＞0）即可求得；
（2）根據(jù)△ABC是等腰直角三角形，即可得到直線AB的解析式的一次項(xiàng)系數(shù)，然后利用待定系數(shù)法即可求得AB的解析式，解AB的解析式與反比例函數(shù)的解析式組成的方程組求得A的坐標(biāo)，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得BC的長(zhǎng)；
（3）作EF⊥BC于點(diǎn)F．利用a、b表示出直線AC的解析式，然后利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系即可求得E的坐標(biāo)，利用a、b表示出AC和EC的長(zhǎng)，從而求解．

解答：解：（1）把A（a，b）代入雙曲線y=

6

x

（x＞0）得：ab=6；

（2）∵△ABC是等腰Rt△ABC，
∴∠ABC=45°，
設(shè)直線AB的解析式是y=x+b，把（-1，0）代入得：-1+b=0，
解得：b=1，
則AB的解析式是：y=x+1，
根據(jù)題意得：

y=x+1 y= 6 x

，
解得：

x=2 y=3

或

x=-3 y=-2

（舍去），
則A的坐標(biāo)是：（2，3），
過(guò)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．
則BD=3，
∴BC=2BD=6；

（3）作EF⊥BC于點(diǎn)F．
A的坐標(biāo)是（a，b），則OD=a，DC=AD=b，
則C的坐標(biāo)是（a+b，0），AC=

2

b，
設(shè)直線AC的解析式是y=-x+c，
則-a-b+c=0，
解得：c=a+b，
則直線AC的解析式是：y=-x+a+b，
令-x+a+b=

6

x

，
則x²-（a+b）x+6=0，
則方程的兩根的和是a+b，而A的橫坐標(biāo)是a，則E的橫坐標(biāo)是b．
則FC=a+b-b=a，
則EC=

2

FC=

2

a，
∴AC•EC=

2

b•

2

a=2ab=2×6=12．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及等腰直角三角形的性質(zhì)，函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法，正確求得E的橫坐標(biāo)是關(guān)鍵．