Question

已知直線l過點A（1，0），B（0，

3

）兩點，將直線l繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，交y軸于點C，又知P（m，0）．
（1）求直線AB，AC解析式；
（2）求△ABC面積；
（3）若S_△ABP=S_△ABC，求m的值．

Answer 1

考點：一次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：

分析：（1）首先設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，由點A（1，0），B（0，

3

），利用待定系數(shù)法即可求得直線AB的解析式；可求得∠BAO的度數(shù)，又由直線AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到直線AC，即可求得點C的坐標，然后利用待定系數(shù)法求得旋轉(zhuǎn)后的直線解析式；
（2）根據(jù)△ABC的面積=

1

2

•BC•OA，代入計算即可；
（3）設(shè)AP=a．先由S_△ABP=S_△ABC，得出

1

2

a•

3

=

2 3

3

，解方程求出a=

4

3

，再由A（1，0），P（m，0），得到|m-1|=

4

3

，解方程即可求出m的值．

解答：解：（1）設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，
∵A（1，0），B（0，

3

），
∴

k+b=0 b= 3

，
解得：

k=- 3 b= 3

，
∴直線AB的解析式為：y=-

3

x+

3

；
在Rt△AOB中，∵OA=1，OB=

3

，
∴tan∠BAO=

OB

OA

=

3

，
∴∠BAO=60°，
當直線AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°交y軸于點C，
∴∠CAO=90-60°=30°，
在Rt△AOC中，OC=OA•tan30°=1×

3

3

=

3

3

，
∴點C的坐標為（0，-

3

3

），
設(shè)所得直線為y=mx-

3

3

，
∵A（1，0），
∴0=m-

3

3

，
解得：m=

3

3

；
∴直線AC解析式為：y=

3

3

x-

3

3

；

（2）△ABC的面積=

1

2

•BC•OA=

1

2

×

4 3

3

×1=

2 3

3

；

（3）設(shè)AP=a．
∵S_△ABP=S_△ABC，
∴

1

2

a•

3

=

2 3

3

，
∴a=

4

3

．
∵A（1，0），P（m，0），
∴|m-1|=

4

3

，
∴m=

7

3

或-

1

3

．

點評：此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、解直角三角形及三角形的面積．此題難度適中，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．