Question

【題目】如圖1在△ABC中，D在AB邊上，DE⊥BC于E，∠A=2∠BDE.

（1）求證：AB=AC；

（2）延長CA至F，連接BF，G在線段BF上，連接DG，∠F=∠BDK，延長GD交BC于K，如圖2，試判斷線段KG與BG的數(shù)量關系，并加以證明；

（3）在（2）的條件下，連接CG、FK，CG=FK，∠CGK=∠BFK，FG=2,CK=3,如圖3，求線段BF的長度.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）KG=BG，證明見解析；（3）BF=6.5.

【解析】

（1）過A作AM⊥BC于M可推DE∥AM可得∠3=∠2，推出∠B=∠C得出結論；

（2）由∠ABC=∠ACB及∠F=∠BDK可得∠GKB=∠GBK，由三角形內角和可得∠BKD=∠FBK可推出BG=GK

（3）延長GK至M使KM=FG=2可證△BFK≌△MGC，可得BK=CM，∠GBK=∠BKG=∠CKM=∠CMK，可得△BGK≌△MCK，所以 ，推出BG=4.5，所以BF=BG+FG=6.5

（1）

過A作AM⊥BC于M

∵AM⊥BC，DE⊥BC

∴∠DEB=∠AMB=90°，∠AMB=∠AMC=90°

∴DE∥AM

∴∠1=∠2

∵∠BAC=2∠1

∴∠BAC=2∠2

∴∠3=∠2

∴∠B=90°-∠2，∠C=90°-∠3

∴∠B=∠C

∴AB=AC

（2）∵AB=AC

∴∠ABC=∠ACB

∵∠F=∠BDK

∴∠GKB=∠GBK

∵∠DBK+∠BDK+∠BKD=180°

又∵∠BCF+∠F+∠FBK=180°

∴∠BKD=∠FBK

∴BG=GK

（3）

延長GK至M使KM=FG=2

∵BG=GK

∴BG+FG=KM+GK

即BF=MG

又∵∠BFK=∠MGC，FK=GC

∴△BFK≌△MGC

∴∠GBK=∠M，BK=CM

∵∠GBK=∠GKB，∠CKM=∠BKG

∴∠GBK=∠BKG=∠CKM=∠CMK

∴CM=CK=3

∴BK=3

∵∠GBK=∠CMK，∠GKB=∠MKC

∴

∴

∴

∴BG=4.5

∴BF=BG+FG=6.5