Question

（本小題滿分12分）如圖，直線交軸于A點(diǎn)，交軸于B點(diǎn)，過A、B兩點(diǎn)的拋物線交軸于另一點(diǎn)C（3，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）；（2）Q（1，）或（1，）或（1，0）或（1，1）．

【解析】

試題分析：（1）由直線交x軸于A點(diǎn)，交y軸于B點(diǎn)，即可求得點(diǎn)A與B的坐標(biāo)，又由過A、B兩點(diǎn)的拋物線交x軸于另一點(diǎn)C（3，0），利用兩點(diǎn)式法即可求得拋物線的解析式；

（2）分別從AB=BQ，AQ=BQ，AB=AQ三方面去分析，注意抓住線段的求解方法，借助于方程求解即可求得答案．

試題解析：（1）∵當(dāng)x=0時，y=3，當(dāng)y=0時，x=﹣1，∴A（﹣1，0），B（0，3），

∵C（3，0），設(shè)拋物線的解析式為，∴，∴，

∴此拋物線的解析式為；

（2）存在．∵，∴該拋物線的對稱軸為，

設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1，m），則，又，

當(dāng)AB=AQ時， ，解得：，∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1，）或（1，）；

當(dāng)AB=BQ時，，解得：，

∵（1，6），（－1，0），（0，3）三點(diǎn)共線，所以不存在，故舍去，∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），

當(dāng)AQ=BQ時，，解得：，∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），

∴拋物線的對稱軸上是存在著點(diǎn)Q（1，）、（1，）、（1，0）、（1，1），使△ABQ是等腰三角形．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．