Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，點(diǎn)E是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，把△DCE沿DE折疊得△DFE，射線DF交直線CB于點(diǎn)P，當(dāng)△AFD為等腰三角形時(shí)，DP的長(zhǎng)為_____．

Answer 1

【答案】或

【解析】

先根據(jù)AD＝BC＝4，DF＝CD＝AB＝6，得出AD＜DF，再分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)FA＝FD時(shí)，過F作GH⊥AD與G，交BC于H，根據(jù)△DGF∽△PHF，得出，求得PF的長(zhǎng)，進(jìn)而得出DP的長(zhǎng)；②當(dāng)AF＝AD＝4時(shí)，過F作FH⊥BC于H，交DA的延長(zhǎng)線于G，根據(jù)勾股定理求得FG，FH的長(zhǎng)，再根據(jù)△DFG∽△PFH，得出，求出PF的長(zhǎng)，即可得出PD的長(zhǎng)．

∵AD＝BC＝4，DF＝CD＝AB＝6，∴AD＜DF，故分兩種情況：

①如圖1所示，當(dāng)FA＝FD時(shí)，過F作GH⊥AD于G，交BC于H，則HG⊥BC，DGAD＝2，∴Rt△DFG中，GF，∴FH＝6﹣4．

∵DG∥PH，

∴△DGF∽△PHF，

∴，即，

解得：PF6，

∴DP＝DF+PF＝6；

②如圖2所示，當(dāng)AF＝AD＝4時(shí)，過F作FH⊥BC于H，交DA的延長(zhǎng)線于G，則

Rt△AFG中，AG2+FG2＝AF2，即AG2+FG2＝16；

Rt△DFG中，DG2+FG2＝DF2，即（AG+4）2+FG2＝36；

聯(lián)立兩式，解得：FG，

∴FH＝6．

∵∠G＝∠FHP＝90°，∠DFG＝∠PFH，

∴△DFG∽△PFH，∴，即，

解得：PF6，∴DP＝DF+PF＝6．

故答案為：或．