Question

如圖，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，以點C為圓心，CA為半徑的圓交AB于點D．求：
（1）AD的長；
（2）△BCD的面積．

Answer 1

考點：垂徑定理,勾股定理

專題：

分析：（1）首先過點C作CE⊥AD于點E，由∠ACB=90°，AC=2，BC=4，可求得AB的長，又由直角三角形斜邊上的高等于兩直角邊乘積除以斜邊，即可求得CE的長，由勾股定理求得AE的長，然后由垂徑定理求得AD的長；
（2）由AB-AD，即可求得BD的長，繼而求得答案．

解答：解：（1）過點C作CE⊥AD于點E，
則AE=DE，
∵∠ACB=90°，AC=2，BC=4，
∴AB=

AC2+BC2

=2

5

，
∴CE=

AC•BC

AB

=

4 5

5

，
∴AE=

AC2-CE2

=

2 5

5

，
∴AD=2AE=

4 5

5

；

（2）∵AB=2

5

，AD=

4 5

5

，
∴BD=AB-AD=

6 5

5

，
∴S_△BCD=

1

2

BD•CE=

1

2

×

4 5

5

×

6 5

5

=

12

5

．

點評：此題考查了垂徑定理、勾股定理以及直角三角形的性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．