Question

19．如圖，拋物線y=-x²+2x+3與x軸相交的于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．
（1）直接寫出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的對(duì)稱軸；
（2）連接BC，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P不與C，B兩點(diǎn)重合），過點(diǎn)P作PF∥DE交拋物線于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
①用含m的代數(shù)式表示線段PF的長，并求出當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形．
②設(shè)△BCF的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)m為何值時(shí)，S有最大值．

Answer 1

分析 （1）對(duì)于拋物線解析式，令y=0求出x的值，確定出A與B坐標(biāo)，令x=0求出y的值確定出C的做準(zhǔn)備，進(jìn)而求出對(duì)稱軸即可；
（2）①根據(jù)B與C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法確定出直線BC解析式，進(jìn)而表示出E與P坐標(biāo)，根據(jù)拋物線解析式確定出D與F坐標(biāo)，表示出PF，利用平行四邊形的判定方法確定出m的值即可；
②連接BF，設(shè)直線PF與x軸交于點(diǎn)M，求出OB的長，三角形BCF面積等于三角形BFP面積加上三角形CFP面積，列出S關(guān)于m的二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)性質(zhì)確定出S取得最大值時(shí)m的值即可．

解答 解：（1）對(duì)于拋物線y=-x²+2x+3，
令x=0，得到y(tǒng)=3；
令y=0，得到-x²+2x+3=0，即（x-3）（x+1）=0，
解得：x=-1或x=3，
則A（-1，0），B（3，0），C（0，3），拋物線對(duì)稱軸為直線x=1；
（2）①設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y=kx+b，
把B（3，0），C（0，3）分別代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：k=-1，b=3，
∴直線BC的解析式為y=-x+3，
當(dāng)x=1時(shí)，y=-1+3=2，
∴E（1，2），
當(dāng)x=m時(shí)，y=-m+3，
∴P（m，-m+3），
令y=-x²+2x+3中x=1，得到y(tǒng)=4，
∴D（1，4），
當(dāng)x=m時(shí)，y=-m²+2m+3，
∴F（m，-m²+2m+3），
∴線段DE=4-2=2，
∵0＜m＜3，
∴y_F＞y_P，
∴線段PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m，
連接DF，由PF∥DE，得到當(dāng)PF=DE時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形，
由-m²+3m=2，得到m=2或m=1（不合題意，舍去），
則當(dāng)m=2時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形；
②連接BF，設(shè)直線PF與x軸交于點(diǎn)M，由B（3，0），O（0，0），可得OB=OM+MB=3，
∵S=S_△BPF+S_△CPF=$\frac{1}{2}$PF•BM+$\frac{1}{2}$PF•OM=$\frac{1}{2}$PF（BM+OM）=$\frac{1}{2}$PF•OB，
∴S=$\frac{1}{2}$×3（-m²+3m）=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{9}{2}$m（0＜m＜3），
則當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時(shí)，S取得最大值．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．