Question

已知如圖，兩個(gè)長為8，寬為2的矩形紙條傾斜地重疊著．
（1）求證：兩矩形重疊部分為菱形；
（2）求菱形面積最大和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由“由兩組對(duì)邊相互平行的四邊形為平行四邊形”判定四邊形ABCD是平行四邊形，然后根據(jù)鄰邊AD=AB推知平行四邊形ABCD是菱形；
（2）當(dāng)兩張紙條如圖2所示放置時(shí)，菱形面積最大；當(dāng)兩張紙條如圖所示3放置時(shí)，菱形面積最小．

解答：（1）證明：根據(jù)題意得：AD∥BC，AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
如圖，分別作CD，BC邊上的高為AE，AF，
∵兩紙條寬度相同，
∴AE=AF．
∵平行四邊形ABCD的面積為AE×CD=BC×AF，
∴CD=BC．
∴平行四邊形ABCD為菱形；

（2）解：如圖2，此時(shí)菱形ABCD的面積最大．
設(shè)AB=x，EB=8-x，AE=2，則由勾股定理得到：2²+（8-x）²=x²，
解得 x=

17

4

，
S_最大=

17

4

×2=

17

2

；
如圖3，此時(shí)菱形ABCD的面積最�。�
S_最小=2×2=4．
綜上所述，菱形面積最大和最小值分別是

17

2

、4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)，難度較大，解答關(guān)鍵是怎樣放置紙條使得到的菱形的面積最大和最小，然后根據(jù)圖形列方程．