【題目】如圖,在△ABC和△ABD中,∠BAC=∠ABD=90°,點(diǎn)E為AD邊上的一點(diǎn),且AC=AE,連接CE交AB于點(diǎn)G,過點(diǎn)A作AF⊥AD交CE于點(diǎn)F.
(1)求證:△AGE≌△AFC;
(2)若AB=AC,求證:AD=AF+BD.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析.
【解析】
(1)由AF⊥AD,∠CAB=90°,可得∠CAF=∠EAG,由AC=AE,可得∠ACF=∠AEG,根據(jù)AAS即可證明結(jié)論;
(2)如圖,在AD上截取AH=AE,交CE于點(diǎn)M,證明△CAF≌△BAH,從而可得∠ABH=∠ACF,繼而可得∠MGB+∠ABH=90°,從而可得∠MHE+∠HEM=90°,再根據(jù)∠ACF=∠HEM,∠ABH+∠HBD=90°,可得到∠MHE=∠HBD,從而可得HD=BD,再根據(jù)AD=AH+DH,即可求得答案.
(1)∵AF⊥AD,
∴∠FAE=90°,
∵∠CAB=90°,
∴∠CAB-∠FAB=∠FAE-∠FAB,
即∠CAF=∠EAG,
∵AC=AE,
∴∠ACF=∠AEG,
∴△AGE≌△AFC(AAS);
(2)如圖,在AD上截取AH=AE,交CE于點(diǎn)M,
又∵∠CAF=∠BAH,AC=BC,
∴△CAF≌△BAH(SAS),
∴∠ABH=∠ACF,
∵∠CGA=∠MGB,∠ACF+∠CGA=90°,
∴∠MGB+∠ABH=90°,
∴∠BMG=90°,
∴∠HME=∠BMG=90°,
∴∠MHE+∠HEM=90°,
又∵∠ACF=∠HEM,∠ABH+∠HBD=90°,
∴∠MHE=∠HBD,
∴HD=BD,
∵AD=AH+DH,
∴AD=AF+BD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△AOB是等邊三角形,且B(2,0),OC是AB邊的中線,將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△A1OB1.
(1)B1的坐標(biāo)是_______(直接寫出結(jié)果即可);
(2)請(qǐng)畫出將△A1OB1繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到的△A2OB2,并按圖形旋轉(zhuǎn)規(guī)律畫出陰影部分;
(3)計(jì)算點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B1所經(jīng)過的弧形路線長(zhǎng)(結(jié)果保留π).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點(diǎn),CD⊥AB于點(diǎn)D.P為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),∠PCD=2∠BAC.
(1)求證:CP為⊙O的切線;
(2)若BP=1,CP=,求 ⊙O的半徑;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC和△DEF中,∠ACB=∠EFD=90°,點(diǎn)B、F、C、D在同一直線上,已知AB⊥DE,且AB=DE,AC=6,EF=8,DB=10,則CF的長(zhǎng)度為___________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一只不透明的袋子中裝有4個(gè)大小、質(zhì)地都相同的乒乓球,球面上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4.
(1)攪勻后從中任意摸出1個(gè)球,求摸出的乒乓球球面上數(shù)字為1的概率;
(2)攪勻后先從中任意摸出1個(gè)球(不放回),再?gòu)挠嘞碌?個(gè)球中任意摸出1個(gè)球,求2次摸出的乒乓球球面上數(shù)字之和為偶數(shù)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》里記載有這樣一道題:“問有沙田一塊,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知為田幾何?”這道題講的是:有一塊三角形沙田,三條邊長(zhǎng)分別為5里,12里,13里,問這塊沙田面積有多大?題中“里”是我國(guó)市制長(zhǎng)度單位,1里=500米,則該沙田的面積為( 。
A. 7.5平方千米 B. 15平方千米 C. 75平方千米 D. 750平方千米
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一平面中,兩條直線相交有一個(gè)交點(diǎn);三條直線兩兩相交最多有3個(gè)交點(diǎn);四條直線兩兩相交最多有6個(gè)交點(diǎn)……當(dāng)相交直線的條數(shù)從2至n變化時(shí),最多可有的交點(diǎn)數(shù)m與直線條數(shù)n之間的關(guān)系如下表:
則m與n的關(guān)系式為:___.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品,若購(gòu)進(jìn)A種商品2件和B種商品1件需45元;若購(gòu)進(jìn)A種商品3件和B種商品2件需70元.
(1)A、B兩種商品每件的進(jìn)價(jià)分別是多少元?
(2)若購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品共100件,總費(fèi)用不超過1000元,最多能購(gòu)進(jìn)A種商品多少件?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將兩塊全等的含30°角的直角三角板按圖1的方式放置,已知∠BAC=∠B1A1C=30°,AB=2BC.
(1)固定三角板A1B1C,然后將三角板ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖2的位置,AB與A1C、A1B1分別交于點(diǎn)D、E,AC與A1B1交于點(diǎn)F.
①填空:當(dāng)旋轉(zhuǎn)角等于20°時(shí),∠BCB1= 度;
②當(dāng)旋轉(zhuǎn)角等于多少度時(shí),AB與A1B1垂直?請(qǐng)說明理由.
(2)將圖2中的三角板ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖3的位置,使AB∥CB1,AB與A1C交于點(diǎn)D,試說明A1D=CD.
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