Question

已知：如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線上，DA⊥AE，AD=AE．
（1）求證：△ABE≌△ACD；
（2）如果點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，求證：CF=DF．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線,等腰直角三角形

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)DA⊥AE，得出∠DAE=90°，再根據(jù)∠BAC=90°，得出∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，即可證出△ABE≌△ACD；
（2）根據(jù)△ABE≌△ACD，得出∠B=∠ACD，再根據(jù)∠B=∠ACB，∠B+∠ACB=90°，得出∠DCE=90°，最后根據(jù)點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，得出CF=DF．

解答：（1）證明：∵DA⊥AE，
∴∠DAE=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，
在△ABE和△ACD中，
∵

AB=AC ∠BAE=∠CAD AE=AD

，
∴△ABE≌△ACD；

（2）證明：∵△ABE≌△ACD，
∴∠B=∠ACD，
∵∠B=∠ACB，∠B+∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠ACB=90°，
∴∠DCE=90°，
∵點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，
∴CF=

1

2

DE=DF；

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)是全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證出∠BAE=∠CAD．