Question

如圖，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，點M、N分別是BC、DE的中點，連接ME、MD．
（1）求證：MN⊥DE；
（2）若∠A=60°，試判定△MED的形狀．

Answer 1

考點：直角三角形斜邊上的中線,等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得MD=ME=

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BC，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明即可；
（2）根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠BME+∠CMD，然后求出∠DME=60°，再根據(jù)等邊三角形的判定方法解答．

解答：（1）證明：∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，點M是BC的中點，
∴MD=ME=

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BC，
∴點N是DE的中點，
∴MN⊥DE；

（2）解：∵M(jìn)D=ME=BM=CM，
∴∠BME+∠CMD=180°-2∠ABC+180°-2∠ACB=360°-2（∠ABC+∠ACB），
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∴∠BME+∠CMD=360°-2×120°=120°，
∴∠DME=60°，
∴△MED是等邊三角形．

點評：本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難點在于（2）求出∠DME=60°．