【題目】探究:如圖①,ABCDEF,點(diǎn)G、PH分別在直線AB、CD、EF上,連結(jié)PGPH,當(dāng)點(diǎn)P在直線GH的左側(cè)時,試說明∠AGP+EHP=∠GPH.下面給出了這道題的解題過程,請完成下面的解題過程,并填空(理由或數(shù)學(xué)式).

解:如圖①,∵ABCD   

∴∠AGP=∠GPD

CDEF

∴∠DPH=∠EHP   

∵∠GPD+DPH=∠GPH,

∴∠AGP+EHP=∠GPH   

拓展:將圖①的點(diǎn)P移動到直線GH的右側(cè),其他條件不變,如圖②.試探究∠AGP、∠EHP、∠GPH之間的關(guān)系,并說明理由.

應(yīng)用:如圖③,ABCDEF,點(diǎn)G、H分別在直線ABEF上,點(diǎn)Q是直線CD上的一個動點(diǎn),且不在直線GH上,連結(jié)QGQH.若∠GQH70°,則∠AGQ+EHQ   度.

【答案】探究:已知;兩直線平行,內(nèi)錯角相等;等量代換;

拓展:∠AGP+EHP+GPH360°,理由見解析;應(yīng)用:70290

【解析】

探究:由于ABCD是條件,因此理由是已知,由于∠DPH與∠EHP內(nèi)錯角,因此由CDEF推出∠DPH=EHP的理由是兩直線平行,內(nèi)錯角相等,由∠GPD+DPH=GPH得到∠AGP+EHP=GPH,是將∠GPD換成∠AGP,將∠DPH換成∠EHP,因此理由是等量代換;
拓展:由AB∥CD得到∠AGP+∠GPC180°,由CD∥EF得到∠CPH+∠EHP180°,

∠AGP+∠GPC+∠CPH+∠EHP360°;
應(yīng)用:分兩種情況討論,點(diǎn)Q在直線GH的左側(cè)或點(diǎn)Q在直線GH的右側(cè)時,分別運(yùn)用探究和拓展得到的結(jié)論就可解決問題.

解:探究:∵AB∥CD(已知)

∴∠AGP∠GPD,

∵CD∥EF,

∴∠DPH∠EHP(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)

∵∠GPD+∠DPH∠GPH

∴∠AGP+∠EHP∠GPH(等量代換).

故答案分別為:已知;兩直線平行,等量代換;

拓展:當(dāng)點(diǎn)P在直線GH的右側(cè)時,其他條件不變,如圖2∠AGP+∠EHP+∠GPH360°.理由如下:

∵AB∥CD,

∴∠AGP+∠GPC180°,

∵CD∥EF,

∴∠CPH+∠EHP180°

∴∠AGP+∠GPC+∠CPH+∠EHP360°,

∠AGP+∠GPH+∠EHP360°;

應(yīng)用:當(dāng)點(diǎn)Q在直線GH的左側(cè)時,則有∠AGQ+∠EHQ∠GQH

∠GQH70°

∠AGQ+∠EHQ70°;

當(dāng)點(diǎn)Q在直線GH的右側(cè)時,則有∠AGQ+∠EHQ+∠GQH360°

∠GQH70°,

∠AGQ+∠EHQ360°70°290°

綜上所述:若∠GQH70°,則∠AGQ+∠EHQ70°290°

故答案為70290

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