【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于點A(1,0)和B(4,0).

(1)求拋物線的解析式;
(2)若拋物線的對稱軸交x軸于點E,點F是位于x軸上方對稱軸上一點,F(xiàn)C∥x軸,與對稱軸右側的拋物線交于點C,且四邊形OECF是平行四邊形,求點C的坐標;
(3)在(2)的條件下,拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△OCP是直角三角形?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:把點A(1,0)和B(4,0)代入y=ax2+bx+2得,

,

解得 ,

所以,拋物線的解析式為y= x2 x+2


(2)

解:方法一:

拋物線的對稱軸為直線x=

∵四邊形OECF是平行四邊形,

∴點C的橫坐標是 ×2=5,

∵點C在拋物線上,

∴y= ×52 ×5+2=2,

∴點C的坐標為(5,2)

方法二:

∵FC∥x軸,∴當FC=OE時,四邊形OECF是平行四邊形.

設C(t, ),

∴F( , +2),

∴t﹣ = ,

∴t=5,C(5,2)


(3)

解:方法一:

設OC與EF的交點為D,

∵點C的坐標為(5,2),

∴點D的坐標為( ,1),

①點O是直角頂點時,易得△OED∽△PEO,

,

=

解得PE= ,

所以,點P的坐標為( ,﹣ );

②點C是直角頂點時,同理求出PF=

所以,PE= +2= ,

所以,點P的坐標為( , );

③點P是直角頂點時,由勾股定理得,OC= = ,

∵PD是OC邊上的中線,

∴PD= OC= ,

若點P在OC上方,則PE=PD+DE= +1,

此時,點P的坐標為( , ),

若點P在OC的下方,則PE=PD﹣DE= ﹣1,

此時,點P的坐標為( , ),

綜上所述,拋物線的對稱軸上存在點P( ,﹣ )或( , )或( , )或( , ),使△OCP是直角三角形

方法二:

∵點P在拋物線的對稱軸上,設P( ,t),O(0,0),C(5,2),

∵△OCP是直角三角形,∴OC⊥OP,OC⊥PC,OP⊥PC,

①OC⊥OP,∴KOC×KOP=﹣1,∴ ,

∴t=﹣ ,∴P( ,﹣ ),

②OC⊥PC,∴KOC×KPC=﹣1,∴ =﹣1,

∴t= ,P( , ),

③OP⊥PC,∴KOP×KPC=﹣1,∴ ,

∴4t2﹣8t﹣25=0,∴t= ,

點P的坐標為( , )或( ),

綜上所述,拋物線的對稱軸上存在點P( ,﹣ )或( , )或( , )或( , ),使△OCP是直角三角形.


【解析】方法一:(1)把點A、B的坐標代入函數(shù)解析式,解方程組求出a、b的值,即可得解;(2)根據(jù)拋物線解析式求出對稱軸,再根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分求出點C的橫坐標,然后代入函數(shù)解析式計算求出縱坐標,即可得解;(3)設AC、EF的交點為D,根據(jù)點C的坐標寫出點D的坐標,然后分①點O是直角頂點時,求出△OED和△PEO相似,根據(jù)相似三角形對應邊成比例求出PE,然后寫出點P的坐標即可;②點C是直角頂點時,同理求出PF,再求出PE,然后寫出點P的坐標即可;③點P是直角頂點時,利用勾股定理列式求出OC,然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得PD= OC,再分點P在OC的上方與下方兩種情況寫出點P的坐標即可.
方法二:(1)略.(2)因為四邊形OECF是平行四邊形,且FC∥x軸,列出F,C的參數(shù)坐標,利用FC=OE,可求出C點坐標.(3)列出點P的參數(shù)坐標,分別列出O,C兩點坐標,由于△OCP是直角三角形,所以分別討論三種垂直的位置關系,利用斜率垂直公式,可求出三種情況下點P的坐標.
【考點精析】關于本題考查的二次函數(shù)的性質,需要了解增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減小;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小才能得出正確答案.

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