Question

已知：矩形ABCD．
（1）如圖（1），P為矩形ABCD的邊AD上一點，求證：PA²+PC²=PB²+PD²．
（2）如圖（2），當點P運動到矩形ABCD外時，結(jié)論是否仍然成立？請說明你的理由．

Answer 1

考點：矩形的性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）矩形各內(nèi)角為90°，故△ABP和△CDP為直角三角形，分別利用勾股定理求得PA、PB、PC、PD的關(guān)系式并且化簡求值即可解題；
（2）過點P作PF∥AB交AD于點E，交BC于點F，EF把矩形ABCD分成兩個矩形，然后分別表示出PA、PB、PC、PD的平方，根據(jù)平方關(guān)系即可得解．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=∠ABC=∠BCD=90°
在Rt△ABP和Rt△CDP中根據(jù)勾股定理可得
PB²=PA²+AB²
PC²=PD²+CD²
∴PB²+PD²=PA²+AB²+PD²
AB²+PD²=PC²
∴PA²+PC²=PB²+PD²．
（2）如圖，

過點P作PF∥AB交AD于點E，BC于點F，則四邊形ABFE，四邊形FCDE都是矩形，
根據(jù)勾股定理得，PA²=AE²+PE²，PB²=BF²+PF²，PC²=FC²+PF²，PD²=DE²+PE²，
∵AE=BF，DE=FC，
∴（AE²+PE²）+（FC²+PF²）=（BF²+PF²）+（DE²+PE²），
即PA²+PC²=PB²+PD²．

點評：本題考查了矩形的對邊平行且相等的性質(zhì)，勾股定理的運用，讀懂題目信息，根據(jù)題目提供的信息找出思路，然后作出輔助線是解題的關(guān)鍵．