Question

選做題：請你從甲、乙兩題中任選一題作答，如果兩題都做，只以甲題計分．
甲題：如圖，已知反比例函數(shù)y1=

k1

x

（k₁＞0）與一次函數(shù)y₂=k₂x+1 （k₂≠0）相交于A、B兩點，AC⊥x軸于點C．若△OAC的面積為1，且tan∠AOC=2．
（1）求出反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；
（2）請直接寫出B點的坐標(biāo)，并指出當(dāng)x為何值時，反比例函數(shù)y₁的值大于一次函數(shù)y₂的值？
乙題：如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過C點的直線互相垂直，垂足為D，且AC平分∠DAB．
（1）求證：DC為⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為3，AD=4，求AC的長．

Answer 1

考點：切線的判定,反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

專題：

分析：甲題：（1）先求出AC=2OC，根據(jù)三角形面積求出A的坐標(biāo)，代入函數(shù)的解析式求出即可；
（2）求出B的坐標(biāo)，根據(jù)A、B的坐標(biāo)結(jié)合圖象得出即可；
乙題：（1）連接OC，求出OC和AD平行，推出OC⊥DC，根據(jù)切線的判定得出即可；
（2）證△DAC和△CAB相似，得出比例式，代入求出即可．

解答：甲題解：（1）在Rt△OAC中，設(shè)OC=m，
∵tan∠AOC=

AC

OC

=2，
∴AC=2×OC=2m，
∵S_△AOC=

1

2

×OC×AC=

1

2

×m×2m=1，
∴m²=1，
∴m=1或m=-1（舍去），
∴m=1，
∴A點的坐標(biāo)為（1，2），
把A點的坐標(biāo)代入y₁=

k1

x

中，得k₁=2，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y₁=

2

x

，
把A點的坐標(biāo)代入y₂=k₂x+1，得k₂=1，
∴一次函數(shù)的表達(dá)式是y₂=x+1；

（2）B點的坐標(biāo)為（-2，-1），
當(dāng)0＜x＜1或x＜-2時，y₁＞y₂．

乙題（1）證明：如圖，連接OC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
又∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥DC，
∴OC⊥DC，
∴DC為⊙O的切線．          

（2）解：連接BC，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵AD⊥DC，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACB=∠ADC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∴△ABC∽△ACD，
∴

AB

AC

=

AC

AD

，
∴AC²=AB•AD，
∵AB=2×3=6，AD=4，
∴AC=2

6

．

點評：本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點問題，切線的判定，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用定理和性質(zhì)進(jìn)行推理和計算的能力，題目比較好，難度適中．