Question

已知關于x的一元二次方程x²-（5m+1）x+4m²+m=0．
（1）求證：無論m取任何實數(shù)時，原方程總有兩個實數(shù)根；
（2）若原方程的兩個實數(shù)根一個大于3，另一個小于8，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：根的判別式,根與系數(shù)的關系

專題：

分析：（1）根據(jù)一元二次方程的根的判別式的符號來證明：
（2）先求出原方程的兩個實數(shù)根，根據(jù)兩個實數(shù)根一個大于3，另一個小于8，列出不等式組，求出m的取值范圍．

解答：（1）證明：∵△=[-（5m+1）]²-4（4m²+m）=（3m+1）²，
∵（3m+1）²是非負數(shù)，
∴△≥0．
∴無論m取何實數(shù)時，原方程總有兩個實數(shù)根；
（2）解：解關于x的一元二次方程x²-（5m+1）x+4m²+m=0得到，
x=或

5m+1±(3m+1)

2

，
∴x₁=4m+1，x₂=m．
則由題意，得

4m+1＞3 m＜8

或

4m+1＜8 m＞3

，
解得，

1

2

＜m＜8，
即m的取值范圍是

1

2

＜m＜8．

點評：本題考查一元二次方程根的判別式，當△≥0時，方程有兩個實數(shù)根；同時考查了公式法解一元二次方程及解一元一次不等式組．