【題目】菱形ABCD中、∠BAD=120°,點(diǎn)O為射線CA 上的動(dòng)點(diǎn),作射線OM與直線BC相交于點(diǎn)E,將射線OM繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到射線ON,射線ON與直線CD相交于點(diǎn)F.
(1)如圖①,點(diǎn)O與點(diǎn)A重合時(shí),點(diǎn)E,F分別在線段BC,CD上,請(qǐng)直接寫出CE,CF,CA三條段段之間的數(shù)量關(guān)系;
(2)如圖②,點(diǎn)O在CA的延長線上,且OA=AC,E,F分別在線段BC的延長線和線段CD的延長線上,請(qǐng)寫出CE,CF,CA三條線段之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(3)點(diǎn)O在線段AC上,若AB=6,BO=2,當(dāng)CF=1時(shí),請(qǐng)直接寫出BE的長.
【答案】(1)CA=CE+CF.(2)CF-CE=AC.(3)BE的值為3或5或1.
【解析】
(1)如圖①中,結(jié)論:CA=CE+CF.只要證明△ADF≌△ACE(SAS)即可解決問題;
(2)結(jié)論:CF-CE=AC.如圖②中,如圖作OG∥AD交CF于G,則△OGC是等邊三角形.只要證明△FOG≌△EOC(ASA)即可解決問題;
(3)分四種情形畫出圖形分別求解即可解決問題.
(1)如圖①中,結(jié)論:CA=CE+CF.
理由:∵四邊形ABCD是菱形,∠BAD=120°
∴AB=AD=DC=BC,∠BAC=∠DAC=60°
∴△ABC,△ACD都是等邊三角形,
∵∠DAC=∠EAF=60°,
∴∠DAF=∠CAE,
∵CA=AD,∠D=∠ACE=60°,
∴△ADF≌△ACE(SAS),
∴DF=CE,
∴CE+CF=CF+DF=CD=AC,
∴CA=CE+CF.
(2)結(jié)論:CF-CE=AC.
理由:如圖②中,如圖作OG∥AD交CF于G,則△OGC是等邊三角形.
∵∠GOC=∠FOE=60°,
∴∠FOG=∠EOC,
∵OG=OC,∠OGF=∠ACE=120°,
∴△FOG≌△EOC(ASA),
∴CE=FG,
∵OC=OG,CA=CD,
∴OA=DG,
∴CF-EC=CF-FG=CG=CD+DG=AC+AC=AC,
(3)作BH⊥AC于H.∵AB=6,AH=CH=3,
∴BH=3,
如圖③-1中,當(dāng)點(diǎn)O在線段AH上,點(diǎn)F在線段CD上,點(diǎn)E在線段BC上時(shí).
∵OB=2,
∴OH==1,
∴OC=3+1=4,
由(1)可知:CO=CE+CF,
∵OC=4,CF=1,
∴CE=3,
∴BE=6-3=3.
如圖③-2中,當(dāng)點(diǎn)O在線段AH上,點(diǎn)F在線段DC的延長線上,點(diǎn)E在線段BC上時(shí).
由(2)可知:CE-CF=OC,
∴CE=4+1=5,
∴BE=1.
如圖③-3中,當(dāng)點(diǎn)O在線段CH上,點(diǎn)F在線段CD上,點(diǎn)E在線段BC上時(shí).
同法可證:OC=CE+CF,
∵OC=CH-OH=3-1=2,CF=1,
∴CE=1,
∴BE=6-1=5.
如圖③-4中,當(dāng)點(diǎn)O在線段CH上,點(diǎn)F在線段DC的延長線上,點(diǎn)E在線段BC上時(shí).
同法可知:CE-CF=OC,
∴CE=2+1=3,
∴BE=3,
綜上所述,滿足條件的BE的值為3或5或1.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,把一張長方形卡片ABCD放在每格寬度為12mm的橫格紙中,恰好四個(gè)頂點(diǎn)都在橫格線上,已知∠α=36°,求長方形卡片的周長.(精確到1mm)(參考數(shù)據(jù):sin36°≈0.60,cos36°≈0.80,tan36°≈0.75)
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【題目】如圖,在△ABC中,AE平分∠BAC,BE⊥AE于點(diǎn)E,點(diǎn)F是BC的中點(diǎn).
(1)如圖1,BE的延長線與AC邊相交于點(diǎn)D,求證:EF=(AC﹣AB);
(2)如圖2,請(qǐng)直接寫出線段AB、AC、EF之間的數(shù)量關(guān)系。
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【題目】如圖,將邊長為4的正方形紙片ABCD折疊,使得點(diǎn)A落在邊CD的中點(diǎn)E處,折痕為FG,點(diǎn)F、G分別在邊AD、BC上,則折痕FG的長度為_____.
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【題目】已知拋物線C:y=x2﹣2x+1的頂點(diǎn)為P,與y軸的交點(diǎn)為Q,點(diǎn)F(1, ).
(1)求tan∠OPQ的值;
(2)將拋物線C向上平移得到拋物線C′,點(diǎn)Q平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q′,且FQ′=OQ′.
①求拋物線C′的解析式;
②若點(diǎn)P關(guān)于直線Q′F的對(duì)稱點(diǎn)為K,射線FK與拋物線C′相交于點(diǎn)A,求點(diǎn)A的坐標(biāo).
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【題目】如圖所示,等邊三角形ABC放置在平面直角坐標(biāo)系中,已知A(0,0)、B(6,0),反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C.
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的解析式.
(2)將等邊△ABC向上平移n個(gè)單位,使點(diǎn)B恰好落在雙曲線上,求n的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,CA=CB,在△AED中,DA=DE,點(diǎn)D,E分別在CA,AB上.
(1)如圖①,若∠ACB=∠ADE=90°,則CD與BE的數(shù)量關(guān)系是;
(2)若∠ACB=∠ADE=120°,將△AED繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至如圖②所示的位置,則CD與BE的數(shù)量關(guān)系是;,
(3)若∠ACB=∠ADE=2α(0°<α<90°),將△AED繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至如圖③所示的位置,探究線段CD與BE的數(shù)量關(guān)系,并加以證明(用含α的式子表示).
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【題目】如圖, 是的中線,,分別是和延長線上的點(diǎn),且,連結(jié),.下列說法:①;②和面積相等;③;④.其中正確的有( 。
A.個(gè)B.個(gè)C.個(gè)D.個(gè)
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【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=60°,∠BAC的平分線AD與邊BC的垂直平分線MD相交于點(diǎn)D,DE⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)E,DF⊥AC于點(diǎn)F,現(xiàn)有下列結(jié)論:①DE=DF;②DE+DF=AD;③DM平分∠ADF;④AB+AC=2AE.其中,正確的有( )
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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