【題目】問(wèn)題探究:在邊長(zhǎng)為的正方形中,對(duì)角線、交于點(diǎn)

探究:如圖,若點(diǎn)是對(duì)角線上任意一點(diǎn),則線段的長(zhǎng)的取值范圍是__________;

探究:如圖,若點(diǎn)內(nèi)任意一點(diǎn),點(diǎn)、分別是邊和對(duì)角線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),則當(dāng) 的值在探究中的取值范圍內(nèi)變化時(shí), 的周長(zhǎng)是否存在最小值?如果存在,請(qǐng)求出周長(zhǎng)的最小值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;

問(wèn)題解決:如圖,在邊長(zhǎng)為的正方形中,點(diǎn)內(nèi)任意一點(diǎn),且,點(diǎn)、分別是邊和對(duì)角線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),則當(dāng)的周長(zhǎng)取到最小值時(shí),求四邊形面積的最大值.

【答案】;()存在,2;3.

【解析】試題分析(1)當(dāng)PO重合時(shí),PA的值最小,最小值為 ;當(dāng)PBD重合時(shí),PA的值最大,最大值為4,即可得線段的長(zhǎng)的取值范圍;(2)存在.如圖2,作點(diǎn)P關(guān)于ABAC的對(duì)稱點(diǎn)E、F連接EFABM,ACN,連接AE、AF、PA.PM+MN+PN=EM+NM+NF=EF 推出點(diǎn)P位置確定時(shí),此時(shí)PMN的周長(zhǎng)最小最小值為線段EF的長(zhǎng),PAM=EAM,PAN=FAN,BAC=45°,推出EAF=2BAC=90°PA=PE=PF,推出EAF 是等腰直角三角形,PA的最小值為,可得線段EF的最小值為2,由此即可解決問(wèn)題;(3)如圖3在圖2的基礎(chǔ)上,A為圓心AB為半徑作A ,PAEF于點(diǎn)O.MAP≌△MAE, NAP≌△NAF,推出,由此可以知道AMN 的面積最小時(shí),四邊形AMPN的面積最大.

試題解析:

(1)圖1中,

∵四邊形ABCD是正方形,邊長(zhǎng)為4,

ACBD,AC=BD=4

當(dāng)PO重合時(shí),PA的值最小,最小值為2,

當(dāng)PBD重合時(shí),PA的值最大,最大值為4,

(2)存在.

理由如圖2,作點(diǎn)P關(guān)于AB、AC的對(duì)稱點(diǎn)E、F,連接EFABMACN,連接AE、AF、PA.

∵PM+MN+PN=EM+NM+NF=EF,

點(diǎn)P位置確定時(shí),此時(shí)的周長(zhǎng)最小最小值為線段EF的長(zhǎng),

∵∠PAM=∠EAM,∠PAN=∠FAN,∠BAC=45°,

∴∠EAF=2∠BAC=90°,

∵PA=PE=PF,

∴△EAF是等腰直角三角形,

PA的最小值為,

線段EF的最小值為2,

∴△PMN的周長(zhǎng)的最小值為2.

(3)如圖3在圖2的基礎(chǔ)上,A為圓心AB為半徑作⊙A,PAEF于點(diǎn)O.

根據(jù)題意點(diǎn)P在上⊙A,

∵△MAP≌△MAE, △NAP≌△NAF

∵PA=AE=AF=4,

=8.

∴△AMN的面積最小時(shí),四邊形AMPN的面積最大

易知當(dāng)PAMN時(shí), AMN 的面積最小,此時(shí)OA=,OM=ON=OP=4-,

MN=8-4 ,

,

四邊形AMPN的面積的最大值=.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)這次活動(dòng)一共調(diào)查了________名學(xué)生;

2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;

3)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,選擇籃球項(xiàng)目的人數(shù)所在扇形的圓心角等于________度;

4)若該學(xué)校有1000人,請(qǐng)你估計(jì)該學(xué)校選擇乒乓球項(xiàng)目的學(xué)生人數(shù)約是________人.

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【題目】如圖,點(diǎn)O在直線AB上,OCOD,∠EDO與∠1互余.

1)求證:ED//AB;

2OF平分∠CODDE于點(diǎn)F,若∠OFD=65°,補(bǔ)全圖形,并求∠1的度數(shù).

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(1)直接寫(xiě)出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的對(duì)稱軸;

(2)連接,與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn),點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)PFDE交拋物線于點(diǎn)F,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m;

①用含m的代數(shù)式表示線段PF的長(zhǎng),并求出當(dāng)m為何值時(shí),四邊形PEDF為平行四邊形?

②設(shè)△BCF的面積為S,求Sm的函數(shù)關(guān)系式,S是否有最大值?如有,請(qǐng)求出最大值,沒(méi)有請(qǐng)說(shuō)明理由.

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老師要求學(xué)生在完成這道教材上的題目后,嘗試對(duì)圖形進(jìn)行變式,繼續(xù)做拓展探究,看看有什么新發(fā)現(xiàn)?

1)小華首先完成了對(duì)這道題的證明,在證明過(guò)程中她用到了平行線的一條性質(zhì),小華用到的平行線性質(zhì)可能是______________.

2)接下來(lái),小華用《幾何畫(huà)板》對(duì)圖形進(jìn)行了變式,她先畫(huà)了兩條平行線AB,EF,然后在平行線間畫(huà)了一點(diǎn)C,連接AC,EC后,用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn)C,分別得到了圖(2)(3)(4),小華發(fā)現(xiàn)圖(3)正是上面題目的原型,于是她由上題的結(jié)論猜想到圖(2)和(4)中的∠BAC,∠ACE與∠CEF之間也可能存在著某種數(shù)量關(guān)系.然后,她利用《幾何畫(huà)板》的度量與計(jì)算功能,找到了這三個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系.

請(qǐng)你在小華操作探究的基礎(chǔ)上,繼續(xù)完成下面的問(wèn)題:

①猜想:圖(2)中∠BAC,∠ACE與∠CEF之間的數(shù)量關(guān)系: .

②補(bǔ)全圖(4),并直接寫(xiě)出圖中∠BAC,∠ACE與∠CEF之間的數(shù)量關(guān)系: . 3)小華繼續(xù)探究:如圖(5),若直線AB與直線EF不平行,點(diǎn)G,H分別在直線AB、直線EF上,點(diǎn)C在兩直線外,連接CG,CH,GH,且GH同時(shí)平分∠BGC和∠FHC,請(qǐng)?zhí)剿鳌?/span>AGC,∠GCH與∠CHE之間的數(shù)量關(guān)系?并說(shuō)明理由.

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求證:BAC+B+C=180° 證明:過(guò)點(diǎn) A 作直線 DEBC(請(qǐng)你把證明過(guò)程補(bǔ)充完整)

2)請(qǐng)你用(1)中的結(jié)論解答下面問(wèn)題:

如圖 2,已知四邊形 ABCD,求∠A+B+C+D 的度數(shù).

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(1)求出yx之間的函數(shù)關(guān)系式;

(2)寫(xiě)出每天的利潤(rùn)W與銷售單價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式;若你是商場(chǎng)負(fù)責(zé)人,會(huì)將售價(jià)定為多少,來(lái)保證每天獲得的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是多少?

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