【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)y=ax2+bx﹣4(a≠0)的圖象與x軸交于A(﹣2,0)、C(8,0)兩點,與y軸交于點B,其對稱軸與x軸交于點D.
(1)求該二次函數(shù)的解析式;
(2)如圖1,連結(jié)BC,在線段BC上是否存在點E,使得△CDE為等腰三角形?若存在,求出所有符合條件的點E的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)如圖2,若點P(m,n)是該二次函數(shù)圖象上的一個動點(其中m>0,n<0),連結(jié)PB,PD,BD,求△BDP面積的最大值及此時點P的坐標(biāo).
【答案】(1)y=x2﹣x﹣4;(2)(8﹣2,﹣)、(0,﹣4)、(,﹣);(3)(,﹣).
【解析】
試題分析:(1)∵二次函數(shù)y=ax2+bx﹣4(a≠0)的圖象與x軸交于A(﹣2,0)、C(8,0)兩點,∴,解得,∴該二次函數(shù)的解析式為y=x2﹣x﹣4;
(2)由二次函數(shù)y=x2﹣x﹣4可知對稱軸x=3,∴D(3,0),∵C(8,0),∴CD=5,由二次函數(shù)y=x2﹣x﹣4可知B(0,﹣4),設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,∴,解得,∴直線BC的解析式為y=x﹣4,設(shè)E(m, m﹣4),當(dāng)DC=CE時,EC2=(m﹣8)2+(m﹣4)2=CD2,即(m﹣8)2+(m﹣4)2=52,解得m1=8﹣2,m2=8+2(舍去),∴E(8﹣2,﹣);當(dāng)DC=DE時,ED2=(m﹣3)2+(m﹣4)2=CD2,即(m﹣3)2+(m﹣4)2=52,解得m3=0,m4=8(舍去),∴E(0,﹣4);當(dāng)EC=DE時,(m﹣8)2+(m﹣4)2=(m﹣3)2+(m﹣4)2解得m5=5.5,∴E(,﹣).綜上,存在點E,使得△CDE為等腰三角形,所有符合條件的點E的坐標(biāo)為(8﹣2,﹣)、(0,﹣4)、(,﹣).
(3)過點P作y軸的平行線交x軸于點F,∵P點的橫坐標(biāo)為m,∴P點的縱坐標(biāo)為m2﹣m﹣4,∵△PBD的面積S=S梯形﹣S△BOD﹣S△PFD=m[4﹣(m2﹣m﹣4)]﹣(m﹣3)[﹣(m2﹣m﹣4)]﹣×3×4=﹣m2+m=﹣(m﹣)2+,∴當(dāng)m=時,△PBD的最大面積為,∴點P的坐標(biāo)為(,﹣).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線與y軸交于點,與x軸交于點,點P是線段AB上方拋物線上的一個動點.
求這條拋物線的表達(dá)式及其頂點坐標(biāo);
當(dāng)點P移動到拋物線的什么位置時,使得,求出此時點P的坐標(biāo);
當(dāng)點P從A點出發(fā)沿線段AB上方的拋物線向終點B移動,在移動中,點P的橫坐標(biāo)以每秒1個單位長度的速度變動;與此同時點M以每秒1個單位長度的速度沿AO向終點O移動,點P,M移動到各自終點時停止當(dāng)兩個動點移動t秒時,求四邊形PAMB的面積S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式,并求t為何值時,S有最大值,最大值是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知平面直角坐標(biāo)系如圖,直線的經(jīng)過點和點.
求m、n的值;
如果拋物線經(jīng)過點A、B,該拋物線的頂點為點P,求的值;
設(shè)點Q在直線上,且在第一象限內(nèi),直線與y軸的交點為點D,如果,求點Q的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平面上有線段AB和點C,按下列語句要求畫圖與填空:
(1)作射線AC;
(2)用尺規(guī)在線段AB的延長線上截取BD=AC;
(3)連接BC
(4)有一只螞蟻想從點A爬到點B,它應(yīng)該沿路徑(填序號)______(①AB,②)爬行最近,這樣爬行所運用到的數(shù)學(xué)原理是_____________________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,線段MN是周長為36cm的圓的直徑(圓心為O),動點A從點M出發(fā),以的速度沿順時針方向在圓周上運動,經(jīng)過點N時,其速度變?yōu)?/span>,并以這個速度繼續(xù)沿順時針方向運動之點M后停止。在動點A運動的同時,動點B從點N出發(fā),以的速度沿逆時針方向在圓周上運動,繞一周后停止運動。設(shè)點A、點B運動時間為.
(1)連接OA、OB,當(dāng)t=4時, = °,在整個運動過程中,當(dāng)時,點A運動的路程為 cm(第2空結(jié)果用含t的式子表示);
(2)當(dāng)A、B兩點相遇時,求運動時間t;
(3)連接OA、OB,當(dāng)時,請直接寫出所有符合條件的運動時間t.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀思考
我們知道,在數(shù)軸上|a|表示數(shù)a所對應(yīng)的點到原點的距離,這是絕對值的幾何意義,由此我們可進一步地來研究數(shù)軸上任意兩個點之間的距離,一般地,如果數(shù)軸上兩點A、B 對立的數(shù)用a,b表示,那么這兩個點之間的距離AB=|a﹣b|.也可以用兩點中右邊的點所表示數(shù)的減去左邊的點所表示的數(shù)來計算,例如:數(shù)軸上P,Q兩點表示的數(shù)分別是﹣1和2,那么P,Q兩點之間的距離就是 PQ=2﹣(﹣1)=3.
啟發(fā)應(yīng)用
如圖,點A在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為a,點B對應(yīng)的數(shù)為b,且a、b滿足|a+3|+(b﹣2)2=0
(1)求線段AB的長;
(2)如圖,點C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為x,且x是方程2x+1=x﹣8的解,
①求線段BC的長;
②在數(shù)軸上是否存在點P使PA+PB=BC?若存在,直接寫出點P對應(yīng)的數(shù):若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△AOB中,∠ABO=90°,OB=4,AB=8,反比例函數(shù)y=在第一象限內(nèi)的圖象分別交OA,AB于點C和點D,且△BOD的面積S△BOD=4.
(1)求反比例函數(shù)解析式;
(2)求點C的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知邊長為3的正方形ABCD中,點E在射線BC上,且BE=2CE,連接AE交射線DC于點F,若△ABE沿直線AE翻折,點B落在點B1處.
(1)如圖1,若點E在線段BC上,求CF的長;
(2)求sin∠DAB1的值;
(3)如果題設(shè)中“BE=2CE”改為“=x”,其它條件都不變,試寫出△ABE翻折后與正方形ABCD公共部分的面積y與x的關(guān)系式及自變量x的取值范圍(只要寫出結(jié)論,不需寫出解題過程).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠第一車間有x人,第二車間比第一車間人數(shù)的 少30人,從第二車間調(diào)出y人到第一車間,那么:
(1)調(diào)動后,第一車間的人數(shù)為 人;第二車間的人數(shù)為 人.(用x,y的代數(shù)式表示);
(2)求調(diào)動后,第一車間的人數(shù)比第二車間的人數(shù)多幾人(用x,y的代數(shù)式表示)?
(3)如果第一車間從第二車間調(diào)入的人數(shù),是原來調(diào)入的10倍,則第一車間人數(shù)將達(dá)到360人,求實際調(diào)動后,(2)題中的具體人數(shù).
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