Question

求如圖，已知點A（-4，0）和點B（6，0），第三象限內(nèi)有一點P，它的橫坐標(biāo)為-2，并且滿足條件tan∠PAB•tan∠PBA=1．
（1）求證：△PAB是直角三角形；
（2）求過P、A、B三個點的拋物線的表達(dá)式，并求頂點坐標(biāo)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）過點P作PC⊥AB于C，根據(jù)銳角三角函數(shù)的正切值的定義列式整理可得

PC

AC

=

BC

PC

，然后求出△ACP和△PCB相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等可得∠PAC=∠BPC，再求出∠APB=90°，然后根據(jù)直角三角形的定義證明即可；
（2）根據(jù)點A、B的坐標(biāo)和點P的橫坐標(biāo)求出AC、BC，再求出PC，然后寫出點P的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可．

解答：（1）證明：如圖，過點P作PC⊥AB于C，
∵tan∠PAB•tan∠PBA=1，
∴

PC

AC

•

PC

BC

=1，
∴

PC

AC

=

BC

PC

，
又∵∠ACP=PCB=90°，
∴△ACP∽△PCB，
∴∠PAC=∠BPC，
∵∠PAC+∠APC=90°，
∴∠BPC+∠APC=90°，
即∠APB=90°，
∴△PAB是直角三角形；

（2）解：∵點A（-4，0），點B（6，0），點P的橫坐標(biāo)為-2，
∴AC=-2-（-4）=-2+4=2，
BC=6-（-2）=6+2=8，
∴

PC

2

•

PC

8

=1，
解得PC=4，
∴點P的坐標(biāo)為（-2，-4），
設(shè)過P、A、B三個點的拋物線的表達(dá)式為y=a（x+4）（x-6），
將點P的坐標(biāo)代入得，a（-2+4）（-2-6）=-4，
解得a=

1

4

，
所以，y=

1

4

（x+4）（x-6）=

1

4

（x²-2x-24）=

1

4

x²-

1

2

x-6，
所以，拋物線解析式為y=

1

4

x²-

1

2

x-6；
∵y=

1

4

x²-

1

2

x-6=

1

4

（x²-2x+1）-

1

4

-6=

1

4

（x-1）²-

25

4

，
∴頂點坐標(biāo)為（1，-

25

4

）．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，（1）作輔助線構(gòu)造出相似三角形并列出銳角的正切是解題的關(guān)鍵，（2）利用交點式解析式求解更簡便．