Question

如圖1，已知正方形ABCD邊長為1，點Q為BC延長線上的一個動點，QA與CD、BD分別交于點P、E．
（1）當(dāng)CQ=

5

4

時，求

QE

QA

的值；
（2）如圖2，如果對角線AC與BD相交于點O，聯(lián)結(jié)QO，交CD于點F，設(shè)CQ=x，S_△EOQ=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，△DEP能否與△DBQ相似，若能請求出x的值，若不能請說明理由．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）先求出BQ，再根據(jù)AD∥BQ得出

AE

QE

=

AD

BQ

=

4

9

，即可求出

QE

QA

；
（2）作QH⊥BD，垂足為點H，根據(jù)∠DBQ=45°，得出QH=

2

2

（1+x），根據(jù)AD∥BQ，得出

DE

EB

=

AD

BQ

，再求出DE=

2

2+x

，根據(jù)OD=

1

2

BD=

2

2

，求出OE，最后根據(jù)y=

1

2

OE•QH代入整理即可；
（3）先求出∠EDP=∠DBQ=45°，再根據(jù)若∠DEP=∠BDQ，則△DEP∽△BDQ，再求出∠AQC=∠1=∠2，證出△DAP≌△CQD，得出PC=1-x，再根據(jù)△ADP∽△QCP，得到

AD

DP

=

CQ

PC

，得出

1

x

=

x

1-x

即可求出x的值．

解答：解：（1）∵CQ=

5

4

，
∴BQ=BC+CQ=1+

5

4

=

9

4

，
∵AD∥BQ，
∴

AE

QE

=

AD

BQ

=

4

9

，
∴

QE

QA

=

9

13

；

（2）作QH⊥BD，垂足為點H，
∵ABCD是正方形，
∴∠DBQ=45°，
在Rt△BQH中，QH=BQsin∠DBQ=

2

2

（1+x），
∵AD∥BQ，
∴

DE

EB

=

AD

BQ

，
∵BD=

2

，
∴DE=

2

2+x

，
∵OD=

1

2

BD=

2

2

，
∴OE=OD-DE=

2

2

-

2

2+x

=

2 x

2(2+x)

，
∴y=

1

2

OE•QH=

1

2

×

2

2

（1+x）×

2 x

2(2+x)

=

x(1+x)

4(2+x)

（x＞0）；

（3）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠EDP=∠DBQ=45°，
若∠DEP=∠BDQ，則△DEP∽△BDQ，∵∠DEP=∠DBQ+∠AQC，∠BDQ=∠BDC+∠1，
∴∠AQC=∠1=∠2，
在△DAP和△CQD中，

∠2=∠AQC AD=QC ∠ADP=∠DCQ

，
∴△DAP≌△CQD（ASA），
∴DP=CQ=x，
∴PC=1-x，
∵△ADP∽△QCP，
∴

AD

DP

=

CQ

PC

，
∴

1

x

=

x

1-x

，
解得：x₁=

-1+ 5

2

，x₂=

-1- 5

2

（舍去），
∴x的值是

-1+ 5

2

．

點評：此題考查了相似形的綜合，用到的知識點是正方形的性質(zhì)、相似三角形和全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，找出相似的三角形．