Question

【題目】如圖 1，已知拋物線 L1：y=﹣x2+2x+3 與 x 軸交于 A，B 兩點(diǎn)（點(diǎn) A在點(diǎn) B 的左側(cè)），與 y 軸交于點(diǎn) C，在 L1 上任取一點(diǎn) P，過(guò)點(diǎn) P 作直線 l⊥x 軸， 垂足為D，將 L1 沿直線 l 翻折得到拋物線L2，交 x 軸于點(diǎn) M，N（點(diǎn) M 在點(diǎn) N 的左側(cè)）．

(1)當(dāng) L1 與 L2 重合時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)點(diǎn) P 與點(diǎn) B 重合時(shí)，求此時(shí) L2 的解析式；并直接寫(xiě)出 L1 與 L2 中，y 均隨x 的增大而減小時(shí)的 x 的取值范圍；

(3)連接 PM，PB，設(shè)點(diǎn) P（m，n），當(dāng) n=m 時(shí)，求△PMB 的面積．

Answer 1

【答案】(1) P（1，4）;(2) y=﹣x2+10x﹣21；x≥5 ;(3) 或 3.

【解析】

（1）當(dāng)點(diǎn) P 為拋物線 L1 的頂點(diǎn)時(shí)，拋物線 L1 與 L2 重合，把y=﹣x2+2x+3變形為頂點(diǎn)式即可得P點(diǎn)坐標(biāo)；（2）令 y=0，可求出P點(diǎn)坐標(biāo)，可知L1 與 L2的對(duì)稱(chēng)軸，進(jìn)而可得L2的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出L2的解析式；根據(jù)圖像可得L1 與 L2 中，y 均隨x 的增大而減小時(shí)的 x 的取值范圍；（3）把P（m，）代入L1解析式可求出m的值

，根據(jù)三角形面積公式求出S△PNB的值即可.

（1）由拋物線對(duì)稱(chēng)性，當(dāng)點(diǎn) P 為拋物線 L1 的頂點(diǎn)時(shí)，拋物線 L1 與 L2 重合

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4

∴點(diǎn) P（1，4）；

（2）在拋物線 L1 中，令 y=0，即﹣x2+2x+3=0

解得 x1=﹣1，x2=3

當(dāng)點(diǎn) P 與點(diǎn) B 重合時(shí)，此時(shí) P（3，0）

∴拋物線 L2 與拋物線 L1 關(guān)于直線 x=3 對(duì)稱(chēng)

∴拋物線 L2 的頂點(diǎn)為（5，4）

∵由拋物線對(duì)稱(chēng)性可知，拋物線 L1 和 L2 開(kāi)口方向和大小相同．

∴拋物線 L2 和的解析式為 y=﹣（x﹣5）2+4=﹣x2+10x﹣21

∴結(jié)合圖象可知，當(dāng) x≥5 時(shí)，拋物線 L1 與拋物線L2 中，y 均隨 x 的增大而減小

（3）當(dāng) n=時(shí)，﹣m2+2m+3=，

解得 m1=﹣，m2=2，

∴點(diǎn) P 坐標(biāo)為（﹣，﹣）或（2，3）

①如圖1，

當(dāng)點(diǎn) P 坐標(biāo)為（﹣，﹣）時(shí)，點(diǎn) D 的坐標(biāo)為坐標(biāo)為（﹣，0）

∴DB=3﹣（﹣）=

∴MB=2BD=2×=9

∴S△PMB==

②如圖 2，

當(dāng)點(diǎn) P 坐標(biāo)為（2，3）時(shí)，點(diǎn) D 的坐標(biāo)為坐標(biāo)為（2，0）

∴DB=3﹣2=1

∴MB=2BD=2

∴S△PMB==3

綜上所述：當(dāng)點(diǎn)P（m，n），n=時(shí)，△PMB 的面積為或 3.