Question

某公園有一斜坡形的草坪（如圖1），其傾斜角∠COx為30°，該斜坡上有一棵小樹AB（垂直于水平面），樹高（

2 3

3

-

1

3

）米．現(xiàn)給該草坪灑水，已知點A與噴水口點O的距離OA為

2

3

3

米，建立如圖2的平面直角坐標系，在噴水的過程中，水運行的路線是拋物線y=-

1

3

x²+bx，且恰好過點B，最遠處落在草坪的點C處．

（1）求b的值；
（2）求直線OC的解析式：
（3）在噴水路線上是否存在一點P，使P到OC的距離最大？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的應用

專題：

分析：（1）首先表示出B點橫縱坐標，進而利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；
（2）首先求出A點坐標，進而利用待定系數(shù)法求解析式即可；
（3）將兩函數(shù)解析式聯(lián)立進而求出交點坐標，進而得出當x=

3

時，由題意可知當S_△POC最大為

3

時則使P到OC的距離最大，即可得出答案．

解答：解：（1）點B的橫坐標x=OAcos30°=

2 3

3

×

3

2

=1，
點B的縱坐標y=OAsin30°+AB=

3

3

+（

2 3

3

-

1

3

）=

3

-

1

3

，
∴B（1，

3

-

1

3

）．將B（1，

3

-

1

3

）代入y=-

1

3

x²+bx，
有

3

-

1

3

=-

1

3

×1²+b，
解得：b=

3

；

（2）∵直線OC的傾斜角為30°，點A與噴水口點O的距離OA為

2

3

3

米，
∴A點的縱坐標為：

3

3

，橫坐標為：1，設直線解析式為：y=kx，
∴

3

3

=k，
∴OC的解析式為：y=

3

3

x；

（3）聯(lián)立

y= 3 3 x y=- 1 3 x2+ 3 x

，
解得：

x1=0 y1=0

，

x2=2 3 y2=2

，
∴交點坐標為：（0，0），（2

3

，2），
∴C的坐標為（2

3

，2）．

如圖2，設P（x，-

1

3

x²+

3

x），
由題意可知當S_△POC最大為

3

時則使P到OC的距離最大，
過P作PH⊥OC于H，則|PH|=

3

2

PM=

3

2

×（-

1

3

x²+

3

x-

3

3

x）=-

3

6

x2+x，
∴S_△POC=

1

2

OC×PH=

1

2

×4×（-

3

6

x²+x）=-

3

3

x²+2x=-

3

3

（x-

3

）²+

3

≤

3

，
當x=

3

時，S_△POC最大為

3

．
故：存在一點P（

3

，2），使P到OC的距離最大，此時S_△POC=

3

．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的應用以及二次函數(shù)最值求法和待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，得出C點坐標是解題關鍵．