Question

【題目】如圖1，在平行四邊形ABCD中，AB＝5，AD＝8，∠A＝60°，點(diǎn)P為AD邊上任意一點(diǎn)，連接PB，并將PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PB′．

（1）當(dāng)∠DP B′＝20°時(shí)，∠ABP＝____________；

（2）如圖2，連結(jié)BB′，點(diǎn)P從A運(yùn)動(dòng)到D的過(guò)程中，求△PBB′面積的取值范圍；

（3）若點(diǎn)B′恰好落在ABCD邊AD或BC所在的直線上時(shí)，直接寫出AP的長(zhǎng)．（結(jié)果保留根號(hào)，不必化簡(jiǎn)）

圖1 圖2

Answer 1

【答案】(1) 10°或50°;(2) S△PBB′ ;（3）AP=2.5或.

【解析】分析：

（1）根據(jù)題意需分點(diǎn)B′在平行四邊形ABCD外部和內(nèi)部分別進(jìn)行分析討論：①當(dāng)點(diǎn)B′在平行四邊形外部時(shí)，如圖1，由題意易得∠BPB′=90°，結(jié)合∠DPB′=20°可得∠BPD=70°，由此可得∠APB=110°結(jié)合∠A=60°即可得到∠ABP=10°；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)B′在平行四邊形內(nèi)部時(shí)，由題意易得∠DPB=∠B′PB+∠B′PD=90°+20°=110°，結(jié)合∠DPB=∠A+∠ABP即可求得∠ABP的度數(shù)；

（2）由題意可知△PBB′是等腰直角三角形，故當(dāng)其直角邊最短時(shí)，其面積最小，而當(dāng)其直角邊最長(zhǎng)時(shí)，其面積最大，由①BP⊥AD時(shí)，PB最��；②PB與BD重合時(shí)，PB最大這兩種情況進(jìn)行分析計(jì)算即可求得所求的取值范圍；

（3）畫出相應(yīng)的圖形，結(jié)合已知條件進(jìn)行分析解答即可.

詳解：

（1）由題意可知：存在點(diǎn)B′在平行四邊形ABCD外部和內(nèi)部?jī)煞N情況，現(xiàn)分別討論如下：

①當(dāng)點(diǎn)B′在平行四邊形ABCD外時(shí)，

∵∠DPB=∠B′PB﹣∠B′PD=90°﹣20°=70°，

∴∠ABP=∠DPB﹣∠A=70°﹣60°=10°，

圖1

②當(dāng)點(diǎn)B′在平行四邊形ABCD內(nèi)時(shí)，

∵∠DPB=∠B′PB+∠B′PD=90°+20°=110°，

∴∠ABP=∠DPB﹣∠A=110°﹣60°=50°，

綜上所述，當(dāng)∠DPQ=20°時(shí)，∠APB=10°或50°．

（2）①如圖3，顯然當(dāng)BP⊥AD時(shí)，BP最小，

∵∠A=60°，AB=5，

∴AP=2.5，

∴此時(shí)BP最小=，

∴此時(shí)S△PBB′=

②如圖4，顯然當(dāng)P與D重合時(shí)，BP最大。

過(guò)P點(diǎn)作PE⊥AB于點(diǎn)E，求得：PE=，BE=1，則BP=7.

∴此時(shí)S△PBB′=，

綜上：S△PBB′.

（3）AP=2.5或

①當(dāng)點(diǎn)B′在AD上時(shí)，如圖3，由（2）可知，此時(shí)AP=2.5；

②當(dāng)點(diǎn)B′在直線BC上時(shí)，如圖5，作BE⊥AD于點(diǎn)E，

∴∠AEB=∠PEB=90°，

∵∠A=60°，AD∥BC，

∴∠ABE=30°，∠CBE=120°，

∴AE=AB=2.5，BE=，∠CBE=90°，

∵△BPB′是等腰直角三角形，

∴∠CBP=45°，

∴∠PBE=45°，

∴PE=BE=，

∴AP=2.5+；

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)B′在直線AD或直線BC上時(shí)，AP的長(zhǎng)為2.5或2.5+；