Question

如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=

2

，BE=2

2

．求AC的長和四邊形ABCD的面積．

Answer 1

考點：勾股定理

專題：幾何圖形問題

分析：利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出EH=DH=1，進而得出再利用直角三角形中30°所對邊等于斜邊的一半得出CD的長，求出AC，AB的長即可得出四邊形ABCD的面積．

解答：解：過點D作DH⊥AC，
∵∠CED=45°，DH⊥EC，DE=

2

，
∴EH=DH，
∵EH²+DH²=ED²，
∴EH²=1，
∴EH=DH=1，
又∵∠DCE=30°，
∴DC=2，HC=

3

，
∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，BE=2

2

，
∴AB=AE=2，
∴AC=2+1+

3

=3+

3

，
∴S_{四邊形ABCD}=

1

2

×2×（3+

3

）+

1

2

×1×（3+

3

）=

3 3 +9

2

．

點評：此題主要考查的是勾股定理，根據(jù)已知條件構造出直角三角形進而得出直角邊的長度是解題關鍵．