Question

【題目】將一個(gè)正方形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，，點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，沿折疊該紙片，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)始終落在邊上（點(diǎn)不與重合），點(diǎn)落在點(diǎn)處，與交于點(diǎn)．

（Ⅰ）如圖①，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅱ）如圖②，當(dāng)點(diǎn)落在的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅲ）隨著點(diǎn)在邊上位置的變化，的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如變化，簡(jiǎn)述理由；如不變，直接寫(xiě)出其值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）不變，的周長(zhǎng)為8．

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，在Rt△AEM中運(yùn)用勾股定理列出方程即可解答；

（Ⅱ）由題意可得AM=MC=2，設(shè)AE=a，則OE=EM=4-a，在Rt△AEM中，利用勾股定理列出方程即可解答；

（Ⅲ）如圖，連接OM，OP，過(guò)點(diǎn)O作OQ⊥MP于點(diǎn)Q，由折疊的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)得到∠MOB=∠OMP，進(jìn)而證明△AMO≌△QMO（AAS），得到AM=QM，AO=QO，再證明Rt△QOP≌Rt△BOP（HL），得到QP=BP，將△MPC的周長(zhǎng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到AC+BC=8即可．

解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，

∵四邊形AOBC是正方形，

∴∠OAC=90°，

∴AM=，

由折疊可知，OE=EM，

設(shè)AM=x，則EM=OE=2x，

∵，

∴OA=4，

∴AE=4-2x，

在Rt△AEM中，AM2+AE2=EM2，

即，解得：，（舍去）

∴OE=2x=，

∴；

（Ⅱ）∵AC=4，

∴當(dāng)點(diǎn)落在的中點(diǎn)時(shí)，AM=MC=2，

設(shè)AE=a，則OE=EM=4-a，

則在Rt△AEM中，AM2+AE2=EM2，

即，解得：，

∴OE=，

∴；

（Ⅲ）不變，的周長(zhǎng)為8，

如圖，連接OM，OP，過(guò)點(diǎn)O作OQ⊥MP于點(diǎn)Q，

由折疊可知，∠EMP=∠AOB=90°，OE=EM，

∴∠EOM=∠EMO，

∴90°-∠EOM=90°-∠EMO，即∠MOB=∠OMP，

又∵正方形AOBC中，AC∥OB，

∴∠AMO=∠MOB，

∴∠AMO=∠OMP，

在△AMO與△QMO中，

∠OAM=∠OQM=90°，∠AMO=∠OMQ，OM=OM，

∴△AMO≌△QMO（AAS），

∴AM=QM，AO=QO，

又∵AO=BO，

∴QO=BO，

∴在Rt△QOP與Rt△BOP中，

OP=OP，QO=BO，

∴Rt△QOP≌Rt△BOP（HL），

∴QP=BP，

∴的周長(zhǎng)=MC+PC+MP

=MC+PC+MQ+QP

=MC+AM+PC+BP

=AC+BC

=8

∴隨著點(diǎn)在邊上位置的變化，的周長(zhǎng)不變，周長(zhǎng)為8．