【題目】如圖,D、E是以AB為直徑的圓O上兩點,且∠AED=45°,過點D作DC∥AB.
(1)請判斷直線CD與圓O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若圓O的半徑為,,求AE的長;
(3)過點D作,垂足為F,直接寫出線段AE、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系 .
【答案】(1)相切,理由見解析;(2)12;(3)
【解析】
(1)連接OD,如圖1,由圓周角定理可得∠AOD=2∠AED=90°,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠CDO=∠AOD,再根據(jù)切線的判定方法即可證得結(jié)論;
(2)連接BE,如圖2,由圓周角定理可得∠B=∠ADE,然后在直角△ABE中利用∠ABE的正弦解答即可;
(3)如圖3,作DG⊥直線EB于點G,連接DB,先證明ED平分∠AEB,再根據(jù)圓周角定理的推論和角平分線的性質(zhì)得出:AD=BD,DF=DG,進一步即可根據(jù)HL證明Rt△ADF≌Rt△BDG,可得AF=BG,易證四邊形DFEG是正方形,從而有EF=EG,然后根據(jù)線段間的和差關(guān)系即可推出結(jié)論.
(1)證明:連接OD,如圖1,
∵∠AED=45°,
∴∠AOD=2∠AED=90°,
∵CD∥AB,
∴∠CDO=∠AOD=90°,即OD⊥CD,
∴直線CD與⊙O相切;
(2)解:連接BE,如圖2,
∵AB為⊙O的直徑,∴∠AEB=90°,
∵∠B=∠ADE,∴sin∠ADE=sinB,
∵sinB=,⊙O的半徑為,
∴,解得AE=12;
(3)如圖3,作DG⊥直線EB于點G,連接DB,
∵∠AEB=90°,DF⊥AE,DG⊥EB,
∴四邊形DFEG是矩形,
∵AB為⊙O的直徑,∴∠AEB=90°,
∵∠AED=45°,∴∠BED=45°,
∴∠AED=∠BED,
∴,∴AD=BD,
∵DF⊥AE,DG⊥EB,∠AED=∠BED,
∴DF=DG,
∴Rt△ADF≌Rt△BDG(HL),
∴AF=BG,
∵DF⊥AE,∠AED=45°,
∴∠AED=∠EDF=45°,
∴DF=EF,
∴矩形DFEG是正方形,
∴EF=EG,
∴AE+BE=AF+EF+EG-BG=2EF=2DF.
故答案為:.
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【題目】閱讀以下材料,并解決相應(yīng)的問題.
巧設(shè)密碼
在日常生活中,微信支付、取款、上網(wǎng)等都需要密碼.有一種用因式分解生成密碼的程序,方便記憶.例如:對于多項式,因式分解的結(jié)果是.若取,,則各個因式的值分別是,,,于是就可以把“”作為一個六位數(shù)的密碼
問題解決:
(1)按材料中的原理,若取,,生成的密碼是_______;
(2)若將程序修改為:整式因式分解的結(jié)果,取,時(來源年月出生),用上述方法產(chǎn)生的密碼是多少?(寫出一種即可)
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【題目】在平面直角坐標系中,已知點,,直線與軸和軸分別交于點,,若拋物線與直線有兩個不同的交點,其中一個交點在線段上(包含,兩個端點),另一個交點在線段上(包含,兩個端點),則的取值范圍是
A. B. 或C. D. 或
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線:,直線,在直線上取一點,使,以點為對稱中心,作點的對稱點,過點作∥,交軸于點,作∥軸,交直線于點,得到四邊形;再以點為對稱中心,作點的對稱點,過點作 ∥,交軸于點,作∥軸,交直線于點,得到四邊形;…;按此規(guī)律作下去,則四邊形的面積是___________.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8,Rt△MPN,∠MPN=90°,點P在AC上,PM交AB與點E,PN交BC與點F,當(dāng)PE=2PF時,AP=_____
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【題目】如圖,O是正方形ABCD邊上一點,以O為圓心,OB為半徑畫圓與AD交于點E,過點E作⊙O的切線交CD于F,將△DEF沿EF對折,點D的對稱點D'恰好落在⊙O上.若AB=6,則OB的長為_____.
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【題目】有一邊長為的等邊游樂場,某人從邊中點出發(fā),先由點沿平行于的方向運動到邊上的點,再由沿平行于方向運動到邊上的點,又由點沿平行于方向運動到邊上的點,則此人至少要運動_______,才能回到點.如果此人從邊上意一點出發(fā),按照上面的規(guī)律運動,則此人至少走______,就能回到起點.
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【題目】家庭過期藥品屬于“危險廢物”,處理不當(dāng)將污染環(huán)境.某市藥監(jiān)部門為了了解市民家庭處理過期藥品的方式,決定對全市家庭做一次簡單隨機抽樣調(diào)查.
(1)下列選取樣本的方法最合理的一種是____________.(只需填上正確答案的序號)
①在市中心某個居民區(qū)以家庭為單位隨機抽;
②在全市醫(yī)務(wù)工作者中以家庭為單位隨機抽。
③在全市常住人口中以家庭為單位隨機抽。
經(jīng)抽樣調(diào)查發(fā)現(xiàn),接受調(diào)查的家庭都有過期藥品,現(xiàn)將有關(guān)數(shù)據(jù)呈現(xiàn)如圖:
(2)填空:m=______,n=_____;
(3)補全條形統(tǒng)計圖;
(4)該市市民家庭處理過期藥品最常見的方式是 .(只填序號)
(5)家庭過期藥品的正確處理方式是送回收點,若該市有180萬戶家庭,請估計大約有多少戶家庭處理過期藥品的方式是送回收點.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在等腰三角形ABC中,AC=BC=4,∠A=30°,點D為AC的中點,點E為邊AB上一個動點,連接DE,將△ADE沿直線DE折疊,點A落在點F處.當(dāng)直線EF與直線AC垂直時,則AE的長為_____.
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