【題目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BD是△ABC的角平分線, DE⊥AB于點(diǎn)E.
(1)如圖1,連接EC,求證:△EBC是等邊三角形;
(2)點(diǎn)M是線段CD上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)C,D重合),以BM為一邊,在BM的下方作∠BMG=60°,MG交DE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.請(qǐng)你在圖2中畫出完整圖形,并直接寫出MD,DG與AD之間的數(shù)量關(guān)系;
(3)如圖3,點(diǎn)N是線段AD上的一點(diǎn),以BN為一邊,在BN的下方作∠BNG=60°,NG交DE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,且MB=MG.試探究ND,DG與AD數(shù)量之間的關(guān)系,并說(shuō)明理由.
【答案】(1)見(jiàn)詳解;(2)AD = DG+DM;(3)AD = DG-DN.
【解析】
(1)利用“三邊相等”的三角形是等邊三角形證得△EBC是等邊三角形;
(2)延長(zhǎng)ED使得DW=DM,連接MN,即可得出△WDM是等邊三角形,利用△WGM≌△DBM即可得出BD=WG=DG+DM,再利用AD=BD,即可得出答案;
(3)利用等邊三角形的性質(zhì)得出∠H=∠2,進(jìn)而得出∠DNG=∠HNB,再求出△DNG≌△HNB即可得出答案.
(1)證明:如圖1所示:
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,
∴∠ABC=60°,BC=AB.
∵BD平分∠ABC,
∴∠1=∠DBA=∠A=30°.
∴DA=DB.
∵DE⊥AB于點(diǎn)E.
∴AE=BE=AB.
∴BC=BE.
∴△EBC是等邊三角形;
(2)結(jié)論:AD=DG+DM.
證明:
如圖2所示:延長(zhǎng)ED使得DW=DM,連接MW,
∵∠ACB=90°,∠A=30°,BD是△ABC的角平分線,DE⊥AB于點(diǎn)E,
∴∠ADE=∠BDE=60°,AD=BD,
又∵DM=DW,
∴△WDM是等邊三角形,
∴MW=DM,
在△WGM和△DBM中,
∵
∴△WGM≌△DBM,
∴BD=WG=DG+DM,
∴AD=DG+DM.
(3)結(jié)論:AD=DGDN.
證明:延長(zhǎng)BD至H,使得DH=DN.
由(1)得DA=DB,∠A=30°.
∵DE⊥AB于點(diǎn)E.
∴∠2=∠3=60°.
∴∠4=∠5=60°.
∴△NDH是等邊三角形.
∴NH=ND,∠H=∠6=60°.
∴∠H=∠2.
∵∠BNG=60°,
∴∠BNG+∠7=∠6+∠7.
即∠DNG=∠HNB.
在△DNG和△HNB中,
∴△DNG≌△HNB(ASA).
∴DG=HB.
∵HB=HD+DB=ND+AD,
∴DG=ND+AD.
∴AD=DGND.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,D為BC邊上一點(diǎn),∠B=30°∠DAB=45°.(1)求∠DAC的度數(shù);(2)請(qǐng)說(shuō)明:AB=CD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,點(diǎn)D是直線AB上的一動(dòng)點(diǎn)(不和A、B重合),BE⊥CD于E,交直線AC于F.
(1)點(diǎn)D在邊AB上時(shí),證明:AB=FA+BD;
(2)點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí),(1)中的結(jié)論是否成立?若不成立,請(qǐng)畫出圖形并直接寫出正確結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB為直徑作⊙O,點(diǎn)D為⊙O上一點(diǎn),且CD=CB、連接DO并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
(1)判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)若BE=4,DE=8,求AC的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,點(diǎn)C在⊙O外,∠ABC的平分線與⊙O交于點(diǎn)D,∠C=90°.
(1)CD與⊙O有怎樣的位置關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)若∠CDB=60°,AB=6,求的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將矩形紙片分別沿兩條不同的直線剪兩刀,可以使剪得的三塊紙片恰能拼成一個(gè)等腰三角形(不能有重疊和縫隙).小華的做法是:如圖1所示,在矩形ABCD中,分別取AD、AB、CD的中點(diǎn)P、E、F,并沿直線PE 、PF剪兩刀,所得的三部分可拼成等腰三角形△PMN (如圖2).
(1)在圖3中畫出另一種剪拼成等腰三角形的示意圖;
(2)以矩形ABCD的頂點(diǎn)B為原點(diǎn),BC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系(如圖4),矩形ABCD剪拼后得到等腰三角形△PMN,點(diǎn)P在邊AD上(不與點(diǎn)A、D重合),點(diǎn)M、N在x軸上(點(diǎn)M在N的左邊).如果點(diǎn)D的坐標(biāo)為(5,8),直線PM的解析式為y=kx+b,求所有滿足條件的k的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,延長(zhǎng)平行四邊形的邊到,使,連結(jié)交于點(diǎn).
試說(shuō)明:;
連結(jié),相交于,連結(jié),問(wèn)與有怎樣的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系,說(shuō)明理由;
若,連接,四邊形是什么特殊四邊形,說(shuō)明理由;
在的條件下,當(dāng)滿足________條件時(shí),四邊形是正方形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)已知一個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角比它的每個(gè)外角的4倍多30°,求這個(gè)多邊形的邊數(shù);
(2)一個(gè)多邊形的外角和是內(nèi)角和的,求這個(gè)多邊形的邊數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)如圖1,將兩個(gè)全等的三角板如圖擺放,其中△ABC和ΔADE的直角頂點(diǎn)重合在點(diǎn)A處,∠ADE=∠ABC=60°,且點(diǎn)D在AC上,點(diǎn)B在AE上,∠C=∠E=30°,AB=AD,AC=AE,BC=DE,BC和DE相交于點(diǎn)F.求證:CF=EF.
(2)如圖2,將這兩個(gè)三角板如圖擺放,直角頂點(diǎn)A仍然重合,BC與DE相交于點(diǎn)F,AC與DE交于點(diǎn)M,AE和BC交于點(diǎn)N.猜想CF和EF還相等嗎?說(shuō)明理由.
(3)如圖3,在(2)的基礎(chǔ)上,若∠DAM=30°.求證:線段DF和AC互相垂直平分.
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