【題目】(1)如圖1,將兩個(gè)全等的三角板如圖擺放,其中△ABC和ΔADE的直角頂點(diǎn)重合在點(diǎn)A處,∠ADE=∠ABC=60°,且點(diǎn)D在AC上,點(diǎn)B在AE上,∠C=∠E=30°,AB=AD,AC=AE,BC=DE,BC和DE相交于點(diǎn)F.求證:CF=EF.
(2)如圖2,將這兩個(gè)三角板如圖擺放,直角頂點(diǎn)A仍然重合,BC與DE相交于點(diǎn)F,AC與DE交于點(diǎn)M,AE和BC交于點(diǎn)N.猜想CF和EF還相等嗎?說(shuō)明理由.
(3)如圖3,在(2)的基礎(chǔ)上,若∠DAM=30°.求證:線段DF和AC互相垂直平分.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)相等,理由見(jiàn)解析;(3)見(jiàn)解析
【解析】
(1)根據(jù)AB=AD,AC=AE得出CD=BE,進(jìn)而求出△CDF≌△EBF.,即可得出答案;
(2)根據(jù)題意求出∠BAN=∠DAM,進(jìn)而證明△BAN≌△DAM,得出AN=AM,進(jìn)一步求出CM=EN,再證明△CMF≌△ENF,即可得出答案;
(3)連接AF,求出∠CAN=60°,證明ΔACF≌△AEF得到∠CAF=∠CAN=30°,再證△ADM≌ΔAFM得到DM=FM,最后證△CFM≌△AFM得出AM=CM,即可得出答案.
(1)證明:∵AB=AD,AC=AE
∴AC=AD=AE-AB
∴CD=EB
在△CDF和△EBF中
∴△CDF≌△EBF
∴CF=EF
(2)解:相等.
理由如下:∵∠CAB=∠EAD-90°
∠CAB-∠CAE=∠EAD-∠CAE
∴∠BAN=∠DAM
在△BAN和△DAM中
∴△BAN≌△DAM
∴AN=AM
∴AC-AM=AE-AD.
∴CM=EN
在△CMF和△ENF中∠C=∠E
∴△CMF≌△ENF
∴CF=EF
(3)證明:連接AF,
當(dāng)∠DAM=30°時(shí),∠AMD=180°-∠D-∠DAM=180°-60°-30°=90°,
∴AC⊥DF,即∠AMD=∠AMF=∠CMF=90°;
∠CAN=∠DAE-∠DAM=90°-30=60°,
在△ACF和ΔAEF中,
∴ΔACF≌△AEF,
∴∠CAF=∠EAF
∴∠CAF=∠EAF=∠CAN=30°
在△ADM和△AFM中
∴△ADM≌ΔAFM
∴DM=FM,即AC平分DF
在△CFM和△AFM中
∴△CFM≌△AFM
∴AM=CM,即DF平分AC,
綜上所述,AC和DF互相垂直平分.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BD是△ABC的角平分線, DE⊥AB于點(diǎn)E.
(1)如圖1,連接EC,求證:△EBC是等邊三角形;
(2)點(diǎn)M是線段CD上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)C,D重合),以BM為一邊,在BM的下方作∠BMG=60°,MG交DE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.請(qǐng)你在圖2中畫(huà)出完整圖形,并直接寫(xiě)出MD,DG與AD之間的數(shù)量關(guān)系;
(3)如圖3,點(diǎn)N是線段AD上的一點(diǎn),以BN為一邊,在BN的下方作∠BNG=60°,NG交DE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,且MB=MG.試探究ND,DG與AD數(shù)量之間的關(guān)系,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,E為AC的中點(diǎn),AD平分∠BAC,BA:CA=2:3,AD與BE相交于點(diǎn)O,若△OAE的面積比△BOD的面積大1,則△ABC的面積是( 。
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,是菱形的對(duì)角線、的交點(diǎn),、分別是、的中點(diǎn).下列結(jié)論:①;②四邊形也是菱形;③四邊形的面積為;④;⑤是軸對(duì)稱圖形.其中正確的結(jié)論有( )
A. 5個(gè) B. 4個(gè) C. 3個(gè) D. 2個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中,點(diǎn)、、分別在、、上,且,.
如果,那么四邊形是________形;
如果是的角平分線,那么四邊形是________形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,能說(shuō)明四邊形是菱形的有( )
①;②,,;③;④,.
A. ① B. ①③ C. ② D. ③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為的正方形中,點(diǎn)是邊中點(diǎn),點(diǎn)在邊上,且,設(shè)與交于點(diǎn),則的面積是________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了響應(yīng)國(guó)家節(jié)能減排的號(hào)召,鼓勵(lì)市民節(jié)約用電,我市從2016年7月1日起,居民用電實(shí)行“一戶一表”的“階梯電價(jià)”,分三個(gè)檔次收費(fèi),第一檔是用電量不超過(guò)180千瓦時(shí)實(shí)行“基本電價(jià)”,第二、三檔實(shí)行“提高電價(jià)”,具體收費(fèi)情況見(jiàn)折線圖,請(qǐng)根據(jù)圖象回答下列問(wèn)題:
(1)當(dāng)用電量是180千瓦時(shí)時(shí),電費(fèi)是___元;
(2)“基本電價(jià)”是___元/千瓦時(shí);
(3)小明家12月份的電費(fèi)是328.5元,這個(gè)月他家用電多少千瓦時(shí)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,正方形網(wǎng)格中,△ABC為格點(diǎn)三角形(即三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上).
(1)把△ABC沿BA方向平移后,點(diǎn)A移到點(diǎn)A1,在網(wǎng)格中畫(huà)出平移后得到的△A1B1C1;
(2)把△A1B1C1繞點(diǎn)A1按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°,得到△A1B2C2,在網(wǎng)格中畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的△A1B2C2.
(3)連結(jié),請(qǐng)判斷的形狀,并說(shuō)明理由.
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