Question

如圖，已知拋物線y=a（x-2）²+1與x軸從左到右依次交于A、B兩點，與y軸交于點C，點B的坐標為（3，0），連接AC、BC．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若P為此拋物線的對稱軸上的一個動點，連接PA、PB、PC，設點P的縱坐標表示為m．
試探究：
①當m為何值時，|PA-PC|的值最大？并求出這個最大值．
②在P點的運動過程中，∠APB能否與∠ACB相等？若能，請求出P點的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把B（3，0）代入y-a（x-2）²+1，根據(jù)待定系數(shù)法可求拋物線的解析式；
（2）①由三角形的三邊關系可知，|PA-PC|＜AC，當P、A、C三點共線時，|PA-PC|的值最大，為AC的長度，延長CA交直線x=2于點P，則點P為所求的點．
求得A（1，0），C（0，-3），根據(jù)勾股定理可得AC的長．根據(jù)待定系數(shù)法可求直線AC的解析式，進一步得到點P的坐標，從而求解；
②設直線x=2與x軸的交點為點D，作△ABC的外接圓⊙E與直線x=2位于x軸下方的部分的交點為P₁，P₁ 關于x軸的對稱點為P₂，則P₁、P₂均為所求的點．在Rt△ADE中，由勾股定理得EA的長，可得P₁（2，-2-

5

）．由對稱性得P₂（2，2+

5

）．

解答：解：（1）把B（3，0）代入y-a（x-2）²+1得a×（3-2）²+1=0，
解得：a=-1．
∴此拋物線的解析式為y=-（x-2）²+1=-x²+4x-3；
（2）①由三角形的三邊關系可知，|PA-PC|＜AC，
∴當P、A、C三點共線時，|PA-PC|的值最大，為AC的長度，
∴延長CA交直線x=2于點P，則點P為所求的點．
求得A（1，0），C（0，-3），
則有OA=1，OC=3，
∴AC=

OA2+OC2

=

10

．
設直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），則

k+b=0 b=-3

，
解得

k=3 b=-3

．
∴直線AC的解析式為y=3x-3，
∵拋物線y=-x²+4x-3的對稱軸為直線x=2，
∴點P（2，m），
∴m=3×2-3=3，
∴當m=3時，|PA-PC|的值最大，最大值為

10

．
②設直線x=2與x軸的交點為點D，作△ABC的外接圓⊙E與直線x=2位于x軸下方的部分的交點為P₁，P₁ 關于x軸的對稱點為P₂，則P₁、P₂均為所求的點．∵∠AP₁B、∠ACB都是弧AB所對的圓周角，
∴∠AP₁B=∠ACB，且射線DE 上的其它點P都不滿足∠APB=∠ACB．
∵圓心E必在AB邊的垂直平分線即直線x=2上．
∴點E的橫坐標為2．
又∵OB=OC=3，
∴圓心E也在BC邊的垂直平分線即直線y=-x上．
∴E（2，-2）．
在Rt△ADE中，DE=2，AD=

1

2

AB=

1

2

（OB-OA）=

1

2

（3-1）=1，
由勾股定理得EA=

AD2+DE2

=

12+22

=

5

，
∴EP₁=EA=

5

，
∴DP₁=DE+EP₁=2+

5

，
∴P₁（2，-2-

5

）．
由對稱性得P₂（2，2+

5

）．
∴符合題意的點P的坐標為P₁（2，-2-

5

）、P₂（2，2+

5

）．

點評：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識點有：待定系數(shù)法求拋物線的解析式，三角形的三邊關系，勾股定理，待定系數(shù)法求直線的解析式，外接圓的性質，關于x軸的對稱點的特征，以及對稱性．綜合性較強，有一定的難度．