Question

【題目】定義：如圖1，D，E在△ABC的邊BC上，若△ADE是等邊三角形則稱△ABC可內嵌，△ADE叫做△ABC的內嵌三角形．

（1）直角三角形______可內嵌．（填寫“一定”、“一定不”或“不一定”）

（2）如圖2，在△ABC中，∠BAC=120°，△ADE是△ABC的內嵌三角形，試說明AB2=BDBC是否成立？如果成立，請給出證明；如果不一定成立，請舉例說明．

（3）在（2）的條件下，如果AB=1，AC=2，求△ABC的內嵌△ADE的邊長

Answer 1

【答案】（1）不一定；（2）成立，理由見解析；（3）

【解析】

（1）當直角三角形是等腰直角三角形時可內嵌，所以直角三角形不一定都可內嵌；（2）根據相似三角形的判斷方法，得出△BDA∽△BAC，根據相似三角形對應邊成比例即可得出；（3）根據△BDA∽△BAC，△AEC∽△BAC，導出DE、CE和x的關系，依據AB2=BDBC列出關于x的方程，從而求出△ABC的內嵌△ADE的邊長．

當直角三角形是等腰直角三角形時可內嵌，

∴直角三角形不一定可內嵌.

（2）∵△ADE是△ABC的內嵌三角形，

∴△ADE是正三角形，

∴∠ADE=60°，

在△ADB和△BAC中，

∵∠ADB=∠BAC=120°，∠B=∠B

∴△BDA∽△BAC，

∴,

即AB2=BDBC．

（3）設BD=x，

∵△BDA∽△BAC，

∴ ,

∴

即AD=2x，

∴AE=DE=x

同理可證：△AEC∽△BAC，

∴,

∴

∴CE=4x，

∴BC=7x

由（2）可知AB2=BDBC

∴12=x﹒7x，

解得x=，

∴DE=，

∴△ABC的內嵌△ADE的邊長是 ．