Question

【題目】綜合與實(shí)踐﹣猜想、證明與拓廣

問題情境：

數(shù)學(xué)課上同學(xué)們探究正方形邊上的動點(diǎn)引發(fā)的有關(guān)問題，如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)D關(guān)于直線AE的對稱點(diǎn)為點(diǎn)F，直線DF交AB于點(diǎn)H，直線FB與直線AE交于點(diǎn)G，連接DG，CG．

猜想證明

（1）當(dāng)圖1中的點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時得到圖2，此時點(diǎn)G也與點(diǎn)B重合，點(diǎn)H與點(diǎn)A重合．同學(xué)們發(fā)現(xiàn)線段GF與GD有確定的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，其結(jié)論為：　 　；

（2）希望小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)，圖1中的點(diǎn)E在邊BC上運(yùn)動時，（1）中結(jié)論始終成立，為證明這兩個結(jié)論，同學(xué)們展開了討論：

小敏：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，很容易得到“GF與GD的數(shù)量關(guān)系”…

小麗：連接AF，圖中出現(xiàn)新的等腰三角形，如△AFB，…

小凱：不妨設(shè)圖中不斷變化的角∠BAF的度數(shù)為n，并設(shè)法用n表示圖中的一些角，可證明結(jié)論．

請你參考同學(xué)們的思路，完成證明；

（3）創(chuàng)新小組的同學(xué)在圖1中，發(fā)現(xiàn)線段CG∥DF，請你說明理由；

聯(lián)系拓廣：

（4）如圖3若將題中的“正方形ABCD”變?yōu)?/span>“菱形ABCD“，∠ABC=α，其余條件不變，請?zhí)骄俊?/span>DFG的度數(shù)，并直接寫出結(jié)果（用含α的式子表示）．

Answer 1

【答案】(1) GF=GD，GF⊥GD;(2)見解析;(3)見解析;(4) 90°﹣.

【解析】

（1）根據(jù)四邊形ABCD是正方形可得∠ABD=∠ADB=45°，∠BAD=90°，點(diǎn)D關(guān)于直線AE的對稱點(diǎn)為點(diǎn)F，即可證明出∠DBF=90°，故GF⊥GD，再根據(jù)∠F=∠ADB，即可證明GF=GD；

（2）連接AF，證明∠AFG=∠ADG，再根據(jù)四邊形ABCD是正方形，得出AB=AD，∠BAD=90°，設(shè)∠BAF=n，∠FAD=90°+n，可得出∠FGD=360°﹣∠FAD﹣∠AFG﹣∠ADG=360°﹣（90°+n）﹣（180°﹣n）=90°，故GF⊥GD；

（3）連接BD，由（2）知，FG=DG，F(xiàn)G⊥DG，再分別求出∠GFD與∠DBC的角度，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可證明出△BDF∽△CDG，故∠DGC=∠FDG，則CG∥DF；

（4）連接AF，BD，根據(jù)題意可證得∠DAM=90°﹣∠2=90°﹣∠1，∠DAF=2∠DAM=180°﹣2∠1，再根據(jù)菱形的性質(zhì)可得∠ADB=∠ABD=α，故∠AFB+∠DBF+∠ADB+∠DAF=（∠DFG+∠1）+（∠DFG+∠1+α）+α+（180°﹣2∠1）=360°，2∠DFG+2∠1+α﹣2∠1=180°，即可求出∠DFG．

解：（1）GF=GD，GF⊥GD，

理由：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABD=∠ADB=45°，∠BAD=90°，

∵點(diǎn)D關(guān)于直線AE的對稱點(diǎn)為點(diǎn)F，∠BAD=∠BAF=90°，

∴∠F=∠ADB=45°，∠ABF=∠ABD=45°，

∴∠DBF=90°，

∴GF⊥GD，

∵∠BAD=∠BAF=90°，

∴點(diǎn)F，A，D在同一條線上，

∵∠F=∠ADB，

∴GF=GD，

故答案為：GF=GD，GF⊥GD；

（2）連接AF，∵點(diǎn)D關(guān)于直線AE的對稱點(diǎn)為點(diǎn)F，

∴直線AE是線段DF的垂直平分線，

∴AF=AD，GF=GD，

∴∠1=∠2，∠3=∠FDG，

∴∠1+∠3=∠2+∠FDG，

∴∠AFG=∠ADG，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

設(shè)∠BAF=n，

∴∠FAD=90°+n，

∵AF=AD=AB，

∴∠FAD=∠ABF，

∴∠AFB+∠ABF=180°﹣n，

∴∠AFB+∠ADG=180°﹣n，

∴∠FGD=360°﹣∠FAD﹣∠AFG﹣∠ADG=360°﹣（90°+n）﹣（180°﹣n）=90°，

∴GF⊥DG，

(3)如圖2，連接BD，由（2）知，FG=DG，F(xiàn)G⊥DG，

∴∠GFD=∠GDF=（180°﹣∠FGD）=45°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠BCD=90°，

∴∠BDC=∠DBC=（180°﹣∠BCD）=45°，

∴∠FDG=∠BDC，

∴∠FDG﹣∠BDG=∠BDC﹣∠BDG，

∴∠FDB=∠GDC，

在Rt△BDC中，sin∠DFG==sin45°=，

在Rt△BDC中，sin∠DBC==sin45°=，

∴，

∴，

∴△BDF∽△CDG，

∵∠FDB=∠GDC，

∴∠DGC=∠DFG=45°，

∴∠DGC=∠FDG，

∴CG∥DF；

（4）90°﹣，理由：如圖3，連接AF，BD，

∵點(diǎn)D與點(diǎn)F關(guān)于AE對稱，

∴AE是線段DF的垂直平分線，

∴AD=AF，∠1=∠2，∠AMD=90°，∠DAM=∠FAM，

∴∠DAM=90°﹣∠2=90°﹣∠1，

∴∠DAF=2∠DAM=180°﹣2∠1，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=AD，

∴∠AFB=∠ABF=∠DFG+∠1，

∵BD是菱形的對角線，

∴∠ADB=∠ABD=α，

在四邊形ADBF中，∠AFB+∠DBF+∠ADB+∠DAF=（∠DFG+∠1）+（∠DFG+∠1+α）+α+（180°﹣2∠1）=360°

∴2∠DFG+2∠1+α﹣2∠1=180°，

∴∠DFG=90°﹣．