Question

等腰Rt△CBA繞直角頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)45°后得到等腰Rt△CDE，AB、BC與DE分別交于點M，H，AB與CD交于點K，連接AE分別交CD，CB于點F，G，連接FM，MG，若△CFG的面積為2

2

，則四邊形CFMG的周長為

 

．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等腰直角三角形,菱形的判定與性質(zhì)

專題：計算題

分析：先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CA=CB=CD=CE，∠ACF=∠ECG=45°，則∠CAE=∠CEA，于是可根據(jù)“ASA”判斷△ACF≌△ECG，則CF=CG，由于旋轉(zhuǎn)45°，則CD⊥AB，∠D=∠CAB=45°，則可判斷△DKM為等腰直角三角形，得到KM=KD，加上CK=AK，CD=CA，所以CA=AK+KM=AM，再計算∠ACF=∠MAF=22.5°，則可利用“SAS”判斷△ACF≌△AMF，得到CF=MF，同理可得CG=GM，于是可得到四邊形CFMG為菱形，再利用三角形面積公式得到

1

2

CF•CG•sin45°=2

2

，解得CF=2

2

，所以四邊形CFMG的周長=4CF=8

2

．

解答：解：∵等腰Rt△CBA繞直角頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)45°后得到等腰Rt△CDE，
∴CA=CB=CD=CE，∠ACF=∠ECG=45°，
∴∠CAE=∠CEA，
在△ACF和△ECG中，

∠CAF=∠CEG AC=EC ∠ACF=∠ECG

，
∴△ACF≌△ECG（ASA），
∴CF=CG，
∵CD⊥AB，∠D=∠CAB=45°，
∴△DKM為等腰直角三角形，
∴KM=KD，
∵CK=AK，CD=CA，
∴CA=AK+KM=AM，
∵AC=EC，∠ACE=135°，
∴∠CAE=22.5°，
∴∠MAF=45°-22.5°=22.5°，
在△ACF和△AMF中，

AC=AM ∠CAF=∠MAF AF=AF

，
∴△ACF≌△AMF（SAS），
∴CF=MF，
同理可得CG=GM，
∴CF=FM=MG=GC，
∴四邊形CFMG為菱形，
∵△CFG的面積為2

2

，
∴

1

2

CF•CG•sin45°=2

2

，
∴CF=2

2

，
∴四邊形CFMG的周長=4CF=8

2

．
故答案為8

2

．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和菱形的判定與性質(zhì)．