Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AF平分∠BAC交BC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，BD平分∠ABC交AF于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)F作FH∥BC．
（1）求證：FH是⊙O的切線；
（2）求證：BF=DF；
（3）若EF=3，DE=4，求線段AD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,平行線的性質(zhì),三角形的外角性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理,切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）連接OB、OC、OF，設(shè)OF與BC交于點(diǎn)G，如圖1，結(jié)合圓周角定理和角平分線的定義可得∠BOF=∠COF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠OGC=90°．然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠OFH=90°，就可證到FH是⊙O的切線．
（2）結(jié)合圓周角定理和角平分線的定義可得∠BAF=∠CBF，然后根據(jù)外角性質(zhì)可證到∠BDF=∠DBF，根據(jù)等角對(duì)等邊可得FB=FD．
（3）由條件可算出DF即BF的長(zhǎng)，由∠BAF=∠CBF可證到△BFE∽△AFB，從而得到FB²=FE•FA，就可求出線段AD的長(zhǎng)．

解答：解：（1）連接OB、OC、OF，設(shè)OF與BC交于點(diǎn)G，如圖1，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF=∠CAF．
∵∠BAF=

1

2

∠BOF，∠CAF=

1

2

∠COF，
∴∠BOF=∠COF．
∵OB=OC，
∴OG⊥BC，即∠OGC=90°．
∵FH∥BC，
∴∠OGC=∠OFH．
∴∠OFH=90°．
∵FH經(jīng)過(guò)OF的外端，且OF⊥FH，
∴FH是⊙O的切線．

（2）如圖2，
∵AF平分∠BAC，BD平分∠ABC，
∴∠BAF=∠CAF，∠ABD=∠CBD．
∵∠CAF=∠CBF，
∴∠BAF=∠CBF．
∴∠BDF=∠BAF+∠ABD=∠CBF+∠CBD=∠DBF．
∴FB=FD．

（3）如圖2，
∵EF=3，DE=4，
∴FB=FD=FE+DE=3+4=7．
∵∠FBE=∠BAF，∠BFE=∠AFB，
∴△BFE∽△AFB．
∴

BF

AF

=

EF

BF

．
∴FB²=FE•FA．
∴49=3FA．
∴FA=

49

3

．
∴AD=FA-FD=

49

3

-7=

28

3

．
∴線段AD的長(zhǎng)為

28

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理、切線的判定、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)，而證到△BFE∽△AFB是解決第（3）小題的關(guān)鍵．